Ejemplos de axiomas geometricos?

Encálculo proposicionales común tomar como axiomas lógicos todas las fórmulas siguientes :

,

donde, , ypueden ser cualquier fórmula en el lenguaje.

Cada uno de estos patrones es un esquema de axiomas, una regla para generar un númeroinfinitode axiomas.

Por ejemplo sip, q, yrson variables proposicionales, entoncesyson instancias del esquema 1 y por lo tanto son axiomas.

Puede probarse que, con solamente estos tres esquemas de axiomas y la regla de inferenciamodus ponens, todas las tautologías del cálculo proposicional son demostrables.

También se puede probar que ningún par de estos esquemas es suficiente para demostrar todas las tautologías utilizandomodus ponens.

Este conjunto de esquemas axiomáticos también se utiliza en el cálculo de predicados, pero son necesarios más axiomas lógicos.

Ejemplo.

Seaun lenguaje de primer orden.

Para cada variablela fórmulaes universalmente válida.

Esto significa que, para cualquier símbolo variable, la fórmulapuede considerarse axioma.

Para no incurrir en vaguedad o en una serie infinita de «nociones primitivas», primeramente se necesita una idea de lo que se desea expresar mediante, o definir un uso puramente formal ysintácticodelsímbolo.

De hecho sucede esto en Lógica matemática.

Otro ejemplo interesante es el de «instanciación universal».

Para una fórmulaen un lenguaje de primer orden, una variabley un términosustituible poren, la fórmulaes válida universalmente.

En términos informales este ejemplo permite afirmar que si se sabe que cierta propiedadse cumple para today que sies un objeto particular en la estructura, se estaría en capacidad de afirmar.

De nuevo se afirma que la fórmulaes válida.

Esto es, se debe ser capaz de aportar una prueba de este hecho, o - mejor expresado - una metaprueba.

En efecto, estos ejemplos son metateoremas de la teoría de lógica matemática, ya que la referencia es meramente alconceptodemostrativo en sí.

Además se puede extender a una generalización existencial.

Esquema axiomático.

Para una fórmulaen un lenguaje de primer orden, una variabley un términosustituible poren, laes universalmente válida.

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Saludos, M4Ri0 : ).