Determine para qué valores de a∈IR, el sistema tiene infinitas soluciones?

Veamos.

El sistema tiene infinitas soluciones cuando una de las ecuaciones es un múltiplo entero de la otra.

Si a la primera ecuación la multiplicamos por 4 resulta.

4(1 - a)x + 8y = 12

Observamos que los términos independientes y los coefeicientes de yson iguales.

Si además los coeficientes de x también son iguales, entonces la primera es 4 veces la segunda y tendríamos infinitas soluciones.

4(1 - a) = 3(1 + a) : 4 - 4a = 3 - 3a ; 1 = 7a ; por lo tanto a = 1 / 7

Reemplazamos :

(1 - 1 / 7)x + 2y = 3 ; 3(1 + 1 / 7)x + 8y = 12

6 / 7x + 2y = 3 ; 24 / 7 x + 8y = 12

Se observa que si multiplicamos por 4 a la primera se obtiene la segunda.

Verificamos.

Elijo x = 0 (arbitrariamente)

1) 2y = 3 ; por lo tanto y = 3 / 2 en la primera.

2) 8y = 12 ; y = 3 / 2 en la segunda

Elijo x = 7

1) 6 + 2y = 3 ; y = - 3 / 2 en la primera

2) 24 + 8y = 12 ; y = - 3 / 2 en la segunda.

Saludos Herminio.