Determine el volumen y el área de la base (paralelogramo ABCD) de la siguiente figura?

Primero vamos a llevar ese paralelogramo al origen, a todos sus vértices vamos a restarle cualquiera de los puntos, voy a restarle a todos los vértices A.

A - A = (0, 0, 0)

B - A = ( - 8, 2, 2)

C - A = ( - 1, 3, 4)

E - A = ( - 1, 1, 7)

Ahora vamos a hallarle la magnitud a cada uno de los segmentos que conforman el paralelogramo.

Magnitud segmento AB = <img src="https://tex.z-dn.net/?f=%20%5Csqrt%7B%28-8%29%5E2%2B%282%29%5E2%2B%282%29%5E2%7D%20%3D%20%20%5Csqrt%7B72%7D%20" />

Magnitud segmento AC = <img src="https://tex.z-dn.net/?f=%20%5Csqrt%7B%28-1%29%5E2%2B%283%29%5E2%2B%284%29%5E2%7D%20%3D%20%20%5Csqrt%7B26%7D%20" />

Magnitud segmento AE = <img src="https://tex.z-dn.net/?f=%20%5Csqrt%7B%28-1%29%5E2%2B%281%29%5E2%2B%287%29%5E2%7D%20%3D%20%20%5Csqrt%7B51%7D%20" />

Para hallar el volumen primero debemos hallar la base y multiplicarlo por la altura, tenemos que la base es el triángulo AEC, hay que hallarle su área.

Te adjunto una ilustración para que se vea detallado el triángulo al que le debemos hallar la altura.

Usaremos Pitágoras.

<img src="https://tex.z-dn.net/?f=h%5E2%20%3D%20c%5E2%20%2B%20h%5E2" />

<img src="https://tex.z-dn.net/?f=%28%20%5Csqrt%7B52%7D%20%29%20%5E2%20%3D%20%20%28%5Cfrac%7B%20%5Csqrt%7B26%7D%20%7D%7B2%7D%20%29%5E2%2Bh%5E2" />

<img src="https://tex.z-dn.net/?f=52%20-%206.5%20%3D%20h%5E2" />

<img src="https://tex.z-dn.net/?f=h%20%3D%20%20%5Csqrt%7B45.5%7D%20" />

Area Base = <img src="https://tex.z-dn.net/?f=%20%5Cfrac%7B%20%5Csqrt%7B45.5%7D%20%2A%20%20%5Csqrt%7B26%7D%20%7D%7B2%7D%20%3D%20%20%5Cfrac%7B%20%5Csqrt%7B1.183%7D%20%7D%7B2%7D%20U%5E2" />

Finalmente el volumen sería multiplicar el área de la base por la altura, y tenemos que la altura es el segmento AB, ya le habíamos hallado su magnitud previamente.

Volumen = <img src="https://tex.z-dn.net/?f=%20%5Cfrac%7B%20%5Csqrt%7B1.183%7D%20%7D%7B2%7D%20%2A%20%20%5Csqrt%7B75%7D%20%3D%20148.93%20U%5E3" />

Fue un placer, saludos.