Determinar una función f(x) que cumpla las siguientes condicionesF(x) es una función cuadráticaF(x + 2) = F(x) + x + 2F(2) = 2?

Buenas tardes, Dado que la función a determinar es cuadrática, ésta tendrá la forma : <img src="https://tex.z-dn.net/?f=f%28x%29%20%3D%20ax%5E2%20%2B%20bx%20%2Bc" />Pues bien, debemos encontrar los coeficientes a, b y c de la función.

Para encontrar 3 incógnitas, al menos debemos tener 3 ecuaciones para hallarlas.

Como dato tenemos que : f(2) = 2f(x + 2) = f(x) + x + 2Nos dan un dato directamente, que f(2) = 2 y nos dan más información acerca de la función para encontrar los otros datos.

Para obtener los otros dos datos, asumamos primeramente que x = 0, sustituyendo en la condición 2.

: f(0 + 2) = f(0) + 0 + 2f(2) = f(0) + 2Despejando f(0) : f(0) = f(2) - 2De la condición 1.

, sabemos que f(2) = 2, sustituyendo esto : f(0) = 2 - 2f(0) = 0Con este dato, podemos tomar otro, tomemos la imagen de x = - 2 , otra vez utilizando la condición 2.

: f( - 2 + 2) = f( - 2) + ( - 2) + 2f(0) = f( - 2)f( - 2) = 0Con estos datos ahora evaluemos los datos, con f(0) podemos encontrar el valor de c directamente ya que : <img src="https://tex.z-dn.net/?f=f%28x%29%20%3D%20ax%5E2%20%2B%20bx%20%2Bc%5C%5C%5C%5Cf%280%29%20%3D%20a%20%5Ccdot%200%5E2%20%2B%20b%20%5Ccdot%200%20%2B%20c%5C%5C%5C%5Cf%280%29%20%3D%20c%20%5C%5C%5C%5C%5Ctherefore%20%5Cboxed%7B%5Ctextbf%7Bc%20%3D%200%7D%7D" />Ahora la función a encontrar es<img src="https://tex.z-dn.net/?f=f%28x%29%20%3D%20ax%5E2%20%2B%20bx" />Utilizamos los 2 datos restantes para plantear las siguientes ecuaciones : <img src="https://tex.z-dn.net/?f=%5Cleft%20%5C%7B%20%7B%7Bf%282%29%20%3D%20a%20%5Ccdot%20%282%29%5E2%20%2B%20b%20%5Ccdot%202%7D%20%5Catop%20%7Bf%28-2%29%20%3D%20a%20%5Ccdot%20%28-2%29%5E2%20%2B%20b%20%5Ccdot%20%28-2%29%7D%20%5Cright.%20%5C%5C%5C%5C%5Cvdots%5C%5C%5Cleft%20%5C%7B%20%7B%7B2%20%3D%204a%20%2B%202b%7D%20%5Catop%20%7B0%20%3D%204a%20-2b%7D%20%5Cright." />Resulta un sistema de 2 incógnitas y 2 ecuaciones, hay muchas formas de resolverlo, pero observando la forma que tienen, usaré el método de reducción.

Con este método simplemente sumo las ecuaciones de tal forma que una incógnita sea reducida : <img src="https://tex.z-dn.net/?f=%2B%20%5C%20%5C%20%7B%7B2%20%3D%204a%20%2B%202b%7D%20%5Catop%20%7B0%20%3D%204a%20-2b%7D%20%5Cright%20%5C%5C%20%5C%5C%5Crightarrow%202%20%3D%208a%20%5C%5C%5C%5C" />En consecuencia, <img src="https://tex.z-dn.net/?f=%5Cboxed%7Ba%20%3D%20%5Cfrac%7B1%7D%7B4%7D%7D" />Con el valor de a, podemos utilizar una de ambas ecuaciones para determinar el valor de b, haciendo esto en la primera : <img src="https://tex.z-dn.net/?f=2%20%3D%204a%20%2B%202b%20%5C%5C%5C%5C2%20%3D%204%20%5Ccdot%20%5Cfrac%7B1%7D%7B4%7D%20%2B%202b%20%5C%5C%20%5C%5C2%20%3D%201%20%2B%202b%5C%5C%20%5C%5C2b%20%3D%201%20%5C%5C%5C%5C%5Cboxed%7Bb%20%3D%20%5Cfrac%7B1%7D%7B2%7D%7D" />Obtenidos los coeficientes ya determinamos la función a buscar y por ende respuesta del ejercicio : <img src="https://tex.z-dn.net/?f=%5Cbigstar%20%5Cboxed%7B%5Cmathbf%7Bf%28x%29%20%3D%20%5Cfrac%7Bx%5E2%7D%7B4%7D%20%2B%20%5Cfrac%7Bx%7D%7B2%7D%7D%7D" />Cualquier duda en los comentarios, Salu2.