Determinar la convergencia o divergencia de la serie ∞ 1 ∑ - - - - - - - - - - - - - - - -n = 2 n ?

Tenemos :

<img src="https://tex.z-dn.net/?f=%20a_%7Bn%7D%3D%20%5Cfrac%7B1%7D%7Bn%28%20ln%28n%29%29%5E%7B2%7D%20%7D%20%20" />

Y nos piden determinar si∑<img src="https://tex.z-dn.net/?f=%20a_%7Bn%7D%20" /> desde n = 2 hasta infinito converge o diverge.

Pues bien, debes usar la prueba de la integral para una función f(x) equivalente a la serie.

Esta función sería :

<img src="https://tex.z-dn.net/?f=f%28x%29%3D%20%5Cfrac%7B1%7D%7Bx%20%28ln%28x%29%29%5E%7B2%7D%20%7D%20" />

Debido a que la función es positiva y decreciente en el intervalo de 2 a infinito.

Se demuestra que la serie converge si y solo si :

<img src="https://tex.z-dn.net/?f=%20%5Cint%5Climits%5E%5Cinfty_2%20%7Bf%28x%29%7D%20%5C%2C%20dx%20%3Dc" />

Es decir si esa integral impropia existe.

Lo calculamos entonces :

<img src="https://tex.z-dn.net/?f=%20%5Cint%5Climits%5E%5Cinfty_2%20%7B%20%5Cfrac%7B1%7D%7Bx%20%28ln%28x%29%29%5E%7B2%7D%20%7D%20%7D%20%5C%2C%20dx%20%3D%20%5Clim_%7Bt%20%5Cto%20%5Cinfty%7D%20%20%5Cint%5Climits%5Et_2%20%7B%20%5Cfrac%7B1%7D%7Bx%20%28ln%28x%29%29%5E%7B2%7D%7D%20%5C%2C%20dx%20" />

Para integrar nos preocupamos solo de la antiderivada (nos olvidamos de los límites) y aplicamos un cambio de variable :

<img src="https://tex.z-dn.net/?f=u%3Dln%28x%29" />

<img src="https://tex.z-dn.net/?f=du%3D%20%5Cfrac%7Bdx%7D%7Bx%7D%20" />

Por lo tanto la integral indefinida es :

<img src="https://tex.z-dn.net/?f=%20%5Cint%5C%20%7B%20%5Cfrac%7B1%7D%7B%20u%5E%7B2%7D%20%7D%20%7D%20%5C%2C%20du%3D-%20u%5E%7B-1%7D%20" />

Si regresamos a nuestras variables originales nos queda :

<img src="https://tex.z-dn.net/?f=-%20%5Cfrac%7B1%7D%7Bln%28x%29%7D%20" />

Ahora hay que evaluar los límites, por lo que nos preocupamos por :

<img src="https://tex.z-dn.net/?f=%20%5Clim_%7Bt%20%5Cto%20%5Cinfty%7D%20%5B-%20%5Cfrac%7B1%7D%7Bln%28x%29%7D%5D%20%20" />

Evaluado en el límite superior ''t'' y el límite inferior 2.

Eso es igual a :

[img = 10]

Como esa integral impropia existe, concluimos que la serie converge.

Un saludo.