Determina la ecuación de la parábola que tiene por directriz la recta : x + y − 6 = 0 y por foco el origen de coordenadas?
Determina la ecuación de la parábola que tiene por directriz la recta : x + y − 6 = 0 y por foco el origen de coordenadas.
En resumen
Dado un punto llamado foco y una recta llamada directriz que no pasa por el foco, se llama parábola al conjunto del puntos tales que su distancia al foco es igual que a la recta directriz.
Mejor respuesta
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Dado un punto llamado foco y una recta llamada directriz que no pasa por el foco, se llama parábola al conjunto del puntos tales que su distancia al foco es igual que a la recta directriz.
Sean u y v las coordenadas de dicho conjunto de puntos (para no confundir con x e y
Distancia desde (u, v) al origen : d = √(u² + v²)
Distancia desde (u, v) hasta la recta : d = (u + v - 6) / √2
Son iguales :
√(u² + v²) = (u + v - 6) / √2 ; elevamos al cuadrado :
u² + v² = 1 / 2 (u + v - 6)²
Quitamos paréntesis : (pasamos el 2 al primer miembro)
2 (u² + v²) = u² + 2 u v + v² - 12 u - 12 v + 36
Trasponiendo al primer término queda y volviendo a x e y :
x² - 2 x y + y² + 12 x + 12 y - 36 = 0
Es la ecuación pedida.
Adjunto gráfico.
La presencia del término - 2 x y indica que los ejes propios de la cónica no son paralelos a los ejes coordenados
Saludos Herminio.
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