Determina la ecuación de la ciercunferencia que pasa por los puntos E(3, 7), F(5, 5) Y G(1, 1)?

Respuesta : (x - 2) ^ 2 + (y - 4) ^ 2 = 10

Explicación paso a paso : Segmento EF :

1) Punto medio M : ((3 + 5) / 2, (7 + 5) / 2) = (4, 6)

2) Pendiente de la recta EF : (5 - 7) / (5 - 3) = - 1

3) Mediatriz de EF :

y - 6 = 1(x – 4)

y = x + 2

Segmento FG :

1) Punto medio N : ((5 + 1) / 2, (5 + 1) / 2) = (3, 3)

2) Pendiente de la recta FG : (1 - 5)) / (1 - 5) = 1

3) Mediatriz de FG :

y – 3 = - 1(x - 3)

y – 3 = - x + 3

y = - x + 6

Intersección de ambas mediatrices :

y = x + 2

y = - x + 6

x + 2 = - x + 6

2x = 4

x = 2, y = 4

Luego el centro es O(2, 4).

La distancia del centro O a, por ejemplo, F(5, 5) es :

√((5 - 2) ^ 2 + (5 – 4) ^ 2) = √(9 + 1) = √10

Luego la ecuación pedida es

(x - 2) ^ 2 + (y - 4) ^ 2 = 10 - - - - - - - - - - - - - - - - - -

He seguido, analíticamente, el proceso para construir una circunferencia que pasa por tres puntos con regla y compás.

He utilizado las expresiones de - > Punto medio de (a, b), (c, d), M = ((a + c) / 2, (b + d) / 2) - > Pendiente de la recta que para por (a, b), (c, d) : m = (d - b) / (c - a).

- > Pendiente de la perpendicular a la recta y = px + q, m’ = - 1 / p - > Recta que pasa por (u, v) con pendiente m : y - v = m(x - u) - > Distancia entre (a, b) y (c, d), d = √((d - b)² + (c - a)²) - > Circunferencia centrada en (a, b) y de radio r : (x - a)² + (y - b)² = r² - - - - - - - - - - - - -

La solución se puede abreviar en este ejercicio en concreto (los datos están muy preparados) si se observa que los segmentos EF y FG son perpendiculares y, por tanto, el centro de la circunferencia está en el punto medio de EG.