Determina el décimo término de la siguiente progresión :2, 2 ^ (5⁄3), 2 ^ (7⁄3), 8,?

Se observa que se trata de una progresión geométrica (PG) donde cada término se obtiene a partir de multiplicar el anterior por su razón "r" que en este caso se calcula tomando un término y su anterior y dividiéndolos.

<img src="https://tex.z-dn.net/?f=r%3D%20%5Cfrac%7B%202%5E%7B5%2F3%7D%20%7D%7B2%5E1%7D%20%3D%20%5Cfrac%7B2%5E%7B5%2F3%7D%7D%7B%202%5E%7B3%2F3%7D%20%7D%20%3D%202%5E%7B2%2F3%7D%20" />

La razón es "dos elevado a dos tercios".

Acudiendo ahora a la fórmula del término general de cualquier PG, podemos calcular el valor de cualquier término de dicha PG.

En este caso nos piden el décimo término a₁₀ con lo que de ahí deducimos el dato de n = 10 y también sabemos el primer término a₁ = 2 , así que nos vamos a la fórmula y sustituimos valores.

<img src="https://tex.z-dn.net/?f=a_n%3Da_1%2A%20r%5E%7Bn-1%7D%20%20%5C%5C%20%20%5C%5C%20%20a_%7B10%7D%20%3D2%2A%20%20%282%5E%7B2%2F3%7D%29%5E%7B10-1%7D%20%3D%202%2A%20%20%282%5E%7B2%2F3%7D%29%5E%7B9%7D%3D2%2A%202%5E%7B18%2F3%7D%3D2%2A2%5E6%3D2%5E7%3D128%20" />

Así pues, el valor deltérmino a₁₀ = 128

Saludos.