Desde el puntoA(−2, −1) se traza la tangente a la circunferencia x ^ 2 + y ^ 2−6x−4y−3 = 0?

Primero tenemos que hallar el centro y el radio de la circunferencia.

Recordemos que la ecuacion de la circunferencia esta dada por

(x - h)² + (y - k)² = r²

donde "(h, k) serán las coordenadas del centro.

Como la ecuacion del ejercicio esta dada de la forma

x² + y² - 6x - 4y - 3 = 0

donde D = - 6 E = - 4 F = - 3

aplicamos la formula

h = - D / 2 k = - E / 2 remplazamos valores

h = - ( - 6) / 2 k = - ( - 4) / 2

h = 6 / 2 k = 4 / 2

h = 3 k = 2

o sea que las coordenadas del centro serán c = (3, 2)

el radio lo podemos obtener aplicando :

r = √D² + E² - 4F / 2 remplazamos

r = √( - 6)² + ( - 4)2 - 4( - 3) / 2

r = √ 36 + 16 + 12 / 2

r = √64 / 2

r = √32

r = 4

ahora ya tenemos las coordenadas del centro (3, 2) y el valor del radio = 4

ahora podemos trazar la gráfica y analizar.

Si te fijas con los puntos A, B, C podemos formar un triangulo rectangulo del cual tenemos las coordenadas de los punto A( - 2, - 1) C(3, 2) B = ?

Con los puntos A Y C podemos hallar la distancia del cateto AC aplicando formula distancia entre dos puntos

d = √(x₂ - x₁)² + (y₂ - y₁)² remplazamos

d = √(3 - ( - 2))² + (2 - ( - 1))²

d = √(3 + 2)² + (2 + 1)²

d = √(5)² + (3)²

d = √25 + 9

d = √34

d = 5, 83

Con este dato tenemos el valor de dos catetos de nuestro triangulo rectángulo cateto AC = 5, 83 y cateto BC = 4 ya que corresponde al valor del radio.

Para hallar el valor o la distancia de AB y que es la pregunta del ejercicio podemos aplicar pitagoras.

H² = a² + b² sustituimos valores de acuerdo al ejercicio

AC² = BC² + AB² remplazamos valoresconocidos

5, 83² = 4² + AB² despejamos AB

5, 83² - 4² = AB²

33, 98 - 16 = AB²

17, 98 = AB

√17, 98 = AB

4, 24 = AB

R / la longitud del segmento AB es 4, 24 anexo grafico

nota : desde un punto exterior a una circunferencia siempre hay dos rectas tangentes que la tocan en dos puntos diferentes, la distancia del punto externo al punto tangencial seran del mismo valor.