Desarrollar lo de imagen adjunta correctamente ?

Antes de empezar, recordemos estas dos propiedades de las transformaciones lineales.

Sea T una transformación lineal, A y B dos vectores, y r un escalar :

<img src="https://tex.z-dn.net/?f=T%28A%20%2B%20B%29%20%3D%20T%28A%29%20%2B%20T%28B%29%20%5C%5C%20%20%5C%5C%20T%28rA%29%20%3D%20rT%28A%29" />

Recordemos también los vectores canónicos de R³.

<img src="https://tex.z-dn.net/?f=e_%7B1%7D%20%3D%20%281%2C0%2C0%29%20%5C%5C%20%20%5C%5C%20e_%7B2%7D%20%3D%20%280%2C1%2C0%29%20%5C%5C%20%20%5C%5C%20e_%7B3%7D%20%3D%20%280%2C0%2C1%29" />

Bien, empecemos.

Sabemos que :

<img src="https://tex.z-dn.net/?f=f%280%2C%20-%201%2C1%29%20%3D%20%281%2C2%29" />

Expresando el vector (0, - 1, 1) como la suma de dos vectores, y aplicando las propiedades anteriormente mencionadas, podemos llegar a una ecuación en términos de los vectores canónicos, así :

<img src="https://tex.z-dn.net/?f=f%280%2C%20-%201%2C1%29%20%3D%20f%28%280%2C%20-%201%2C0%29%20%2B%20%280%2C0%2C1%29%29%20%5C%5C%20%20%5C%5C%20%20%20%3D%20f%280%2C%20-%201%2C0%29%20%2B%20f%280%2C0%2C1%29%20%5C%5C%20%20%5C%5C%20%3D%20%20-%20f%280%2C1%2C0%29%20%2B%20f%280%2C0%2C1%29%20%5C%5C%20%20%5C%5C%20%20%3D%20%20-%20f%28e_%7B2%7D%29%20%2B%20f%28e_%7B3%7D%29%20%3D%20%281%2C2%29" />

La ecuación que obtenemos es :

<img src="https://tex.z-dn.net/?f=f%28e_%7B3%7D%29%20-%20f%28e_%7B2%7D%29%20%3D%20%281%2C2%29%20%5C%3A%20%20%5C%3A%20%5C%3A%20%20%5C%3A%20%20%5C%3A%20%20%5C%3A%20%20%281%29" />

Hacemos lo mismo para el vector (1, - 1, 0) :

<img src="https://tex.z-dn.net/?f=f%281%2C%20-%201%2C0%29%20%3D%20f%28%281%2C0%2C0%29%20%2B%20%280%2C%20-%201%2C0%29%29%20%5C%5C%20%20%5C%5C%20%20%3D%20f%281%2C0%2C0%29%20%20%20%2B%20f%280%2C%20-%201%2C0%29%20%5C%5C%20%20%5C%5C%20%20%3D%20f%281%2C0%2C0%29%20%20-%20%20f%280%2C%201%2C0%29%20%5C%5C%20%20%5C%5C%20%20%3D%20f%28e_%7B1%7D%29%20-%20f%28e_%7B2%7D%29%20%3D%20%283%2C4%29" />

Obtenemos entonces una segunda ecuación :

<img src="https://tex.z-dn.net/?f=f%28e_%7B1%7D%29%20-%20f%28e_%7B2%7D%29%20%3D%20%283%2C4%29%20%5C%3A%20%20%5C%3A%20%20%5C%3A%20%20%5C%3A%20%20%5C%3A%20%20%5C%3A%20%20%5C%3A%20%282%29" />

Para el caso del vector (1, 0, 0), no es necesario expresarlo como una suma, pues éste vector es e₁ :

<img src="https://tex.z-dn.net/?f=f%281%2C0%2C0%29%20%3D%20f%28e_%7B1%7D%29%20%3D%20%285%2C6%29" />

Nuestra tercera ecuación es :

<img src="https://tex.z-dn.net/?f=f%28e_%7B1%7D%29%20%3D%20%285%2C6%29%20%5C%3A%20%20%5C%3A%20%20%5C%3A%20%20%5C%3A%20%20%5C%3A%20%20%5C%3A%20%20%5C%3A%20%283%29" />

Ahora, debemos resolver el sistema formado por las ecuaciones (1), (2) y (3).

En este caso, lo resolveré por sustitución.

Reemplazando (3) en (2) :

<img src="https://tex.z-dn.net/?f=%285%2C6%29%20-%20f%28e_%7B2%7D%29%20%3D%20%283%2C4%29%20%5C%5C%20%20%5C%5C%20f%28e_%7B2%7D%29%20%3D%20%285%2C6%29%20-%20%283%2C4%29%20%5C%5C%20%20%5C%5C%20f%28e_%7B2%7D%29%20%3D%20%282%2C2%29" />

Reemplazando en (1) :

[img = 10]

La solución del sistema es :

[img = 11]

Bien, ya casi terminamos.

Para hallar f(x, y, z), hacemos prácticamente lo mismo : expresamos (x, y, z) como una suma, aplicamos propiedades, y reemplazamos las soluciones que obtuvimos del sistema de ecuaciones :

[img = 12]

Respuesta :

[img = 13]

Espero haya quedado todo claro.

Si tienes alguna duda, puedes dejarla en un comentario.