Demuestre que todo numero divisible entre 4 se puede puede expresar como la diferencia entee dos numeros cuadrados?

Para demostrar que todo número divisible entre 4 se puede ser expresado como la diferencia entre dos números cuadrados, convertimos cada número desde el 1 en una diferencia de cuadrados valiéndonos de las propiedades de la unidad y resolvemos :

Para 1

(2² – 1²) = 2² – 2(2)(1) + 1 = 4 – 4 + 1 = 1

Para 2

(3² – 1²) = 3² – 2(3)(1) + 1 = 9 – 6 + 1 = 4

Para 3

(4² – 1²) = 4² – 2(4)(1) + 1 = 16 – 8 + 1 = 9

Para 4

(5² – 1²) = 5² – 2(5)(1) + 1 = 25 – 10 + 1 = 16

Para 5

(6² – 1²) = 6² – 2(6)(1) + 1 = 36 – 12 + 1 = 25

Para 6

(7² – 1²) = 7² – 2(7)(1) + 1 = 49 – 14 + 1 = 36

Para 7

(8² – 1²) = 8² – 2(8)(1) + 1 = 64 – 16 + 1 = 49

Para 8

(9² – 1²) = 9² – 2(9)(1) + 1 = 81 – 18 + 1 = 64

Vemos que en estos primeros ya falta el 8, el 12, el 20, el 24, el 28, el 32, 40, 44, 48, 52, 56 y 60 que son números divisibles entre 4 y que no pueden expresarse como una diferencia de cuadrados.

, por lo que se demuestra que no todos los números divisibles entre 4 pueden expresarse como diferencia de cuadrados.