Demuestra la siguiente igualdad trigonométrica (sen x) / (1 + cosx) + (1 + cos x) / senx = 2 sec x?

Tienes,

<img src="https://tex.z-dn.net/?f=%5Cdisplaystyle%20%5Cfrac%7B%5Csin%28x%29%7D%7B1%2B%5Ccos%28x%29%7D%2B%20%5Cfrac%7B1%2B%5Ccos%28x%29%7D%7B%5Csin%28x%29%7D%20%3D2%5Csec%28x%29%20" />

podemos partir de cualquiera de los dos lados e intentar llegar al otro lado,

hacemos una suma de fracciones común y corriente

<img src="https://tex.z-dn.net/?f=%5Cdisplaystyle%20%5Cfrac%7B%5Csin%5E%7B2%7D%28x%29%2B%281%2B%5Ccos%28x%29%29%5E%7B2%7D%20%20%7D%7B%28%5Csin%28x%29%29%281%2B%5Ccos%28x%29%29%7D%20%3D%5Cdisplaystyle%20%5Cfrac%7B%5Csin%5E%7B2%7D%28x%29%2B1%2B2%5Ccos%28x%29%2B%5Ccos%5E%7B2%7D%28x%29%20%20%7D%7B%28%5Csin%28x%29%29%281%2B%5Ccos%28x%29%29%7D%20" />

pero sabemos que una identidad trignométrica famosa

<img src="https://tex.z-dn.net/?f=%20%5Csin%5E%7B2%7D%20%28x%29%2B%20%5Ccos%5E%7B2%7D%20%28x%29%3D1" />

entonces,

<img src="https://tex.z-dn.net/?f=%5Cdisplaystyle%20%5Cfrac%7B%5Csin%5E%7B2%7D%28x%29%2B1%2B2%5Ccos%28x%29%2B%5Ccos%5E%7B2%7D%28x%29%20%7D%7B%28%5Csin%28x%29%29%281%2B%5Ccos%28x%29%29%7D%20%3D%5Cfrac%7B%5Csin%5E%7B2%7D%28x%29%2B%5Ccos%5E%7B2%7D%28x%29%2B1%2B2%5Ccos%28x%29%20%7D%7B%28%5Csin%28x%29%29%281%2B%5Ccos%28x%29%29%7D%20%5C%5C%20%20%5C%5C%20%20%5Cfrac%7B1%2B1%2B2%5Ccos%28x%29%7D%7B%5Csin%28x%29%281%2B%5Ccos%28x%29%29%7D%20%3D%20%5Cfrac%7B2%2B2%5Ccos%28x%29%7D%7B%5Csin%28x%29%281%2B%5Ccos%28x%29%29%7D%20%3D%20%5Cfrac%7B2%281%2B%5Ccos%28x%29%29%7D%7B%5Csin%28x%29%281%2B%5Ccos%28x%29%29%7D%20%3D..." />

y ésto es igaul

<img src="https://tex.z-dn.net/?f=%5Cdisplaystyle%20%5Cfrac%7B2%7D%7B%5Csin%28x%29%7D%20%3D2%5Ccsc%28x%29" />

por lo tanto no se llego a demostrar la igualdad puesto que

<img src="https://tex.z-dn.net/?f=%5Ccsc%28x%29%5Cneq%5Csec%28x%29" />

por lo tanto la identidad es FALSA¡.