Demostrar que solo se puede trazar una recta por el punto C(7 ; - 2)?
Demostrar que solo se puede trazar una recta por el punto C(7 ; - 2). De manera q su distancia al punto A(4 ; - 6) sea igual a cinco. Hallar su ecuación.
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Sea y = m x + b la recta que pasa por el punto (7, - 2)
La forma general de la recta es m x - y + b = 0
Para el punto dado es 7 m + 2 + b = 0 ; luego b = - 7 m - 2
La distancia desde el punto (4, - 6) a la recta es :
5 = (4 m + 6 + b) / √(m² + 1) ; reemplazamos b :
5 √(m² + 1) = 4 m + 6 - 7 m - 2 = - 3 m + 4 ; elevamos al cuadrado :
25 (m² + 1) = 9 m² - 24 m + 16 ; reordenamos términos :
16 m² + 24 m + 9 = 0 ; es un trinomio cuadrado perfecto
(4 m + 3)² = 0 ; de modo que m = - 3 / 4 (solución única)
b = - 7 ( - 3 / 4) - 2 = 13 / 4
La recta buscada es y = - 3 / 4 x + 13 / 4
Casualmente el punto (7, - 2) corresponde con el pie de la perpendicular desde el punto (4, - 6) a la recta.
La distancia entre ellos es 5
d = √[(7 - 4)² + ( - 2 + 6)²] = 5
Adjunto gráfico.
Saludos Herminio.
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