Demostrar que se puede trazar por el punto P (2, 7) dos rectas de manera que sus distancias al punto Q(1, 2) sean iguales a 5 : Hallar las ecuaciones de estas rectas ?

Las ecuaciones de las rectas son : y = 7

y = - 5X / 12 + 47 / 6

Sean los puntos T1 y T1’, aquellos que se encuentran a una distancia de 5 del punto Q

Sean x e y las coordenadas del punto T1

T1 = (x, y)

Utilizando la fórmula de la distancia entre dos puntos tenemos que la distancia al cuadrado de P a Q es : d ^ 2 = (x2 - x1) ^ 2 + (y2 - y1) ^ 2d ^ 2 = (2 - 1) ^ 2 + (7 - 2) ^ 2 = 1 ^ 2 + 5 ^ 2 = 1 + 25 = 26

La distancia de T1 a Q es 5 por lo tanto la distancia al cuadrado de T1 a Q es 25

(Ver imagen)

El segmento QT1 es perpendicular a la recta que pasa por P y por T1, formándose un triángulo rectángulo, del cual conocemos que la hipotenusa al cuadrado (PQ) vale 26 y un cateto al cuadrado (QT1) vale 25, aplicando teorema de Pitágoras tenemos que el cateto PT1 al cuadrado vale 1

h ^ 2 = ca ^ 2 + cb ^ 226 = 25 + PT1 ^ 2

26 - 25 = PT1 ^ 2

1 = PT1 ^ 2

La distancia entre el punto P y T1 es entonces 1 y si aplico la fórmula de la distancia entre dos puntos tengo :

d ^ 2 = (x2 - x1) ^ 2 + (y2 - y1) ^ 2

1 ^ 2 = (2 - x) ^ 2 + (7 - y) ^ 2

1 = (2 - x) ^ 2 + (7 - y) ^ 2 ECUACION A

También sé que la distancia entre Q y T1 es 5 por lo tanto si aplico la fórmula de la distancia entre dos puntos tengo :

d ^ 2 = (x2 - x1) ^ 2 + (y2 - y1) ^ 2

5 ^ 2 = (1 - x) ^ 2 + (2 - y) ^ 2

25 = (1 - x) ^ 2 + (2 - y) ^ 2 ECUACION B

La ecuación A y la ecuación B forman un sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas, las desarrollo y aplico el método de reducción :

(1 - x) ^ 2 + (2 - y) ^ 2 = 25 Ec.

B

(2 - x) ^ 2 + (7 - y) ^ 2 = 1 Ec.

A

x ^ 2 + y ^ 2 - 2x - 4y + 5 = 25 Ec.

B

x ^ 2 + y ^ 2 - 4x - 14y + 53 = 1 Ec.

A

Cambio el signo de la Ec.

B y sumo

x ^ 2 + y ^ 2 - 2x - 4y + 5 = 25 - x ^ 2 - y ^ 2 + 4x + 14y - 53 = - 1

__________________________ 2x + 10y - 48 = 24 2x + 10y = 24 + 48 2x + 10y = 72

Simplifico entre dos ambos miembros y queda :

x + 5y = 36

Despejo x y queda que :

x = 36 – 5y

Sustituyo el valor de x en la ec.

A y despejo y

(36 - 5y) ^ 2 + y ^ 2 – 4(36 - 5y) - 14y + 53 = 1

1296 – 360y + 25y ^ 2 + y ^ 2 - 144 + 20y - 14y + 53 = 1

26y ^ 2 - 354y + 1205 = 1

26y ^ 2 – 354y + 1204 = 0

Simplificando ambos miembros entre 2

13y ^ 2 – 177y + 602 = 0

Aplicando la formula cuadrática tenemos dos soluciones para y :

y1 = 7

y2 = 86 / 13

Busco el valor de X para cada caso :

Caso1 : cuando y = 7 x = 36 - 5y

x = 36 – 5 * 7

x = 36 - 35

x = 1

T1 = (1, 7)

Caso 2 : cuando y = 86 / 13

x = 36 – 5y

x = 36 – 5 * 86 / 13

x = 36 – 430 / 13

x = (468 – 430) / 13

x = 38 / 13

T1’ = (38 / 13 , 86 / 13)

Finalmente buscamos la ecuación de las rectas L1 y L2 tal que L1 pase por el punto P y el punto T1 y L2 pase por el punto P y T1’

Recta L1 , pasa por P = (2, 7) y T1 = (1, 7)

m = (7 – 7) / (2 - 1) = 0 / 1 m = 0

y = 0x + b evalúo la ecuación en el punto P

7 = 0 * 2 + b

7 = 0 + b

7 = b

Por lo tanto la ecuación de la recta L1 es

y = 7

Recta L2 , pasa por P = (2, 7) y T1’ = (38 / 13 , 86 / 13)

m = (7 – 86 / 13) / (2 - 38 / 13)

m = (5 / 13) / ( - 12 / 13) m = - 5 / 12

y = - 5x / 12 + b evalúo la ecuación en el punto P

7 = - 5 * 2 / 12 + b

7 = - 10 / 12 + b

7 = - 5 / 6 + b

7 + 5 / 6 = b

47 / 6 = b

Por lo tanto la ecuación de la recta L2 es

y = - 5x / 12 + 47 / 6.