Demostrar que la raíz cuadrada de 2 es un número irracional?

Hay muchas maneras de demostrar que <img src="https://tex.z-dn.net/?f=%20%5Csqrt%7B2%7D" /> es irracional.

Demostración por reducción al absurdo :

lo que se busca con esta demostración es afirmar algo, luego se desarrolla dónde se llega a un absurdo que contradice la afirmación.

Suponiendo que <img src="https://tex.z-dn.net/?f=%20%5Csqrt%7B2%7D" /> es un número racional entonces se puede expresar como una fracción <img src="https://tex.z-dn.net/?f=%5Clarge%7B%5Cmathrm%7B%20%5Ctextcolor%7Bblue%7D%7Bireducible%7D%7D%7D" />

<img src="https://tex.z-dn.net/?f=%5Csqrt%7B2%7D%3D%5Cfrac%7Ba%7D%7Bb%7D" />

dónde <img src="https://tex.z-dn.net/?f=%20b%E2%89%A00" /> y <img src="https://tex.z-dn.net/?f=%20a%20%5C%20y%20%5C%20b%20" /> <img src="https://tex.z-dn.net/?f=%5Clarge%7B%5Cmathrm%7B%5Ctextcolor%7Bred%7D%7Bno%20%5C%20tienen%20%5C%20factores%20%5C%20comunes%20%5C%20excepto%20%5C%20el%20%5C%201%7D%7D%7D" />

elevando al cuadrado en ambos miembros :

<img src="https://tex.z-dn.net/?f=%28%5Csqrt%7B2%7D%29%5E2%3D%5Cleft%28%5Cfrac%7Ba%7D%7Bb%7D%5Cright%29%5E2%5CLongrightarrow%202%3D%5Cfrac%7Ba%5E2%7D%7Bb%5E2%7D" />

pasando multuplicando <img src="https://tex.z-dn.net/?f=%20b%5E2%20" /> entonces queda :

<img src="https://tex.z-dn.net/?f=2b%5E2%3Da%5E2%20" />

[img = 10] se puede afirmar que [img = 11] es múltiplo de 2 entonces [img = 12] también es múltiplo de dos, todo múltiplo de dos se puede expresar como una multiplicación de 2 por un número natural entonces se puede escribir [img = 13] Reemplazando :

[img = 14]

[img = 15] se.

Puede afirmar que [img = 16] es múltiplo de dos entonces [img = 17] también es múltiplo de 2.

Se puede escribir [img = 18] siendo [img = 19].

[img = 20] y [img = 21] son múltiplos de dos, entonces [img = 22] y [img = 23] tienen como factor común al 2.

[img = 24] : se había afirmado que la fracción era ireducible y que no tenían factores comunes excepto el 1, pero se llegó a que 2 es factor común entonces la fracción es reducible.

Conclusión : [img = 25] es irracional.