Demostrar que : El cociente entre : Cotan x + 2Cos x y Csc x – Sen x es igual a : Sec x + 2tan x?

Hola,

Para este ejercicio, voy a intentar a llegar de la igualdad del lado izquierdo a la del lado derecho, primero dejaré todo en función de senos y cosenos, después iré resolviendo :

<img src="https://tex.z-dn.net/?f=%5Cfrac%7B%20%5Cfrac%7Bcosx%7D%7Bsenx%7D%20%2B%202cosx%20%7D%7B%20%20%5Cfrac%7B1%7D%7Bsenx%7D%20-%20senx%20%7D%20%3D%20secx%20%2B%202%20tanx%20%5C%5C%20%5C%5C%0A%5Cfrac%7B%20%5Cfrac%7Bcosx%2B2senxcosx%7D%7Bsenx%7D%7D%7B%20%20%5Cfrac%7B1-sen%5E%7B2%7Dx%7D%7Bsenx%7D%7D%20%3D%20secx%20%2B%202tanx%20%5C%5C%20%5C%5C" />

Ahora dejamos todo en UN numerador y denominador :

<img src="https://tex.z-dn.net/?f=%5Cfrac%7Bcosx%20%2B%202senxcosx%7D%7B1-sen%5E%7B2%7Dx%7D%20%3D%20secx%20%2B%202tanx%20%5C%5C%20%5C%5C" />

Además sabemos que,

sen²x + cos²x = 1 entonces = > cos²x = 1 - sen²x

Sustituimos esa expresión en el denominador :

<img src="https://tex.z-dn.net/?f=%5Cfrac%7Bcosx%20%2B%202senxcosx%7D%7Bcos%5E%7B2%7Dx%7D%20%3D%20secx%20%2B%202tanx%20%5C%5C%20%5C%5C%0A%20%5Cfrac%7Bcosx%7D%7Bcos%5E%7B2%7Dx%7D%20%2B%20%20%5Cfrac%7B2senxcosx%7D%7Bcos%5E%7B2%7Dx%7D%20%20%20%3D%20secx%20%2B%202%20tanx%20%5C%5C%20%5C%5C%0A%20%5Cfrac%7B1%7D%7Bcosx%7D%20%20%2B%20%202%5Cfrac%7Bsenx%7D%7Bcosx%7D%20%3D%20secx%20%2B%202%20tanx%20" />

Así llegamos a :

<img src="https://tex.z-dn.net/?f=%5Cboxed%7Bsecx%20%2B%202%20tanx%20%3D%20secx%20%2B%202%20tanx%7D" />

y queda demostrado,

Saludos : )!