Demostraciones de sumatoria?

Podria enseñarte como 3 formas a) una geometricamente b)una con progresion aritmetica y c) una con las propiedades de sumatoria esta ultima la aplicare ya que creo que estas en este ramo y creo que es más ad ok veamos algunas propiedades de las sumatorias a)telescópica sea n (A(i + 1) - Ai) = A2 - A1 + A3 - A2 + .

+ An - A(n - 1) + .

I = 1 .

+ A(n + 1) - An se llega a n A(i + 1) - Ai = A(n + 1) - A1 i = 1 b) n 1 = 1 + 1 + 1 + 1 + .

+ 1 = n i = 1 ahora tomando en cuenta estas dos propiedades y recordando la formula del cuadrado del binomio (i + 1) ^ 2 = i ^ 2 + 2i + 1 esto lo podemos escribir como (i + 1) ^ 2 - i ^ 2 = 2i + 1 ahora haciendo la sumatoraia a lado de la igualdad tenemos ((i + 1) ^ 2 - i ^ 2) = 2 * i + 1 al primer miembro le aplicamos la propiedad telescopica entonces n ((i + 1) ^ 2 - i ^ 2) = (n + 1) ^ 2 - 1 ^ 2 = (n + 1) ^ 2 - 1 = n ^ 2 + 2n i = 1 tambien n 1 = n i = 1 entonces tenemos ((i + 1) ^ 2 - i ^ 2) = 2 * i + 1 n ^ 2 + 2n = 2 * i + n esto es (n ^ 2 + 2n - n) = 2 * i (n ^ 2 + n ) = 2 * i n(n + 1) = 2 * i n(n + 1) / 2 = i o sea n i = n(n + 1) / 2 i = 1 .

Por Inducción condiciones a) que se cumpla para n = 1 b) si se cumple para k entonces se cumple para k + 1 demostraremos que se cumplen estas premisas n i = n(n + 1) / 2 i = 1 para n = 1 1 i = 1 ( por extensión) i = 1 1 i = 1(1 + 1) / 2 = 1 * 2 / 2 = 1 (por formula) i = 1 se cumple para n = 1 ahora demostraremos que si se cumple para n = k tambien se cumple para n = k + 1 o sea si k i = k(k + 1) / 2 i = 1 entonces k + 1 i = (k + 1)(k + 2) / 2 i = 1 veamos k + 1 i = i = 1 k i + (k + 1) = k(k + 1) / 2 + (k + 1) = k(k + 1) / 2 + 2(k + 1) / 2 i = 1 = (k(k + 1) + 2(k + 1)) / 2 = (k + 2)(k + 1) / 2 = (k + 1)(k + 2) / 2 por tanto queda demostrado.