De ser posibles determine escalares c1, c2 y c3, no todos nulos, de modo que [1 ] [ 1 ] [ 3] [ 0]c1 [ 2] + c2 [ 3] + c3 [ 7] = [ 0] [ - 1 ] [ - 2 ] [ - 4] [ 0]?

Bien, lo que necesitas es demostrar primero, si es linealmente dependiente o independiente, para eso lo único que consideramos es justamente lo que tienes publicado,

<img src="https://tex.z-dn.net/?f=%5Cdisplaystyle%20%20c_%7B1%7D%5Cleft%5B%5Cbegin%7Barray%7D%7Brrr%7D1%5C%5C2%5C%5C-1%5Cend%7Barray%7D%5Cright%5D%20%2Bc_%7B2%7D%5Cleft%5B%5Cbegin%7Barray%7D%7Brrr%7D1%5C%5C3%5C%5C-2%5Cend%7Barray%7D%5Cright%5D%20%2Bc_%7B3%7D%5Cleft%5B%5Cbegin%7Barray%7D%7Brrr%7D3%5C%5C7%5C%5C-4%5Cend%7Barray%7D%5Cright%5D%20%3D%5Cleft%5B%5Cbegin%7Barray%7D%7Brrr%7D0%5C%5C0%5C%5C0%5Cend%7Barray%7D%5Cright%5D%5C%5C%5C%5C%5C%5C%20%20%5Cleft%5B%5Cbegin%7Barray%7D%7Brrr%7D1%261%263%5C%5C2%263%267%5C%5C-1%26-2%26-4%5Cend%7Barray%7D%5Cright%5D%5Cleft%5B%5Cbegin%7Barray%7D%7Brrr%7Dc_%7B1%7D%5C%5Cc_%7B2%7D%5C%5Cc_%7B3%7D%5Cend%7Barray%7D%5Cright%5D%3D%20%5Cleft%5B%5Cbegin%7Barray%7D%7Brrr%7D0%5C%5C0%5C%5C0%5Cend%7Barray%7D%5Cright%5D" />

estás dos notaciones son equivalentes, son exactamente lo mismo, es un sistema de la forma Ax = b donde b = 0, es decir es un sistema homogéneo, bueno, entonces armamos la matriz ampliada, que consta de los vectores columna una linea vertical y la matriz de término indepndientes que son el vector nulo, en otras palabras,

<img src="https://tex.z-dn.net/?f=%5Cdisplaystyle%5Cleft%5B%5Cbegin%7Barray%7D%7Brrr%7Cr%7D1%261%263%260%5C%5C2%263%267%260%5C%5C-1%26-2%26-4%260%5Cend%7Barray%7D%5Cright%5D" />

y mediante operaciones entre filas, debemos reducir la matriz hasta la identidad (de ser posible), entonces empecemos por hacer,

<img src="https://tex.z-dn.net/?f=F_%7B2%7D-%282%29F_%7B1%7D" />

<img src="https://tex.z-dn.net/?f=%5Cdisplaystyle%5Cleft%5B%5Cbegin%7Barray%7D%7Brrr%7Cr%7D1%261%263%260%5C%5C2%263%267%260%5C%5C-1%26-2%26-4%260%5Cend%7Barray%7D%5Cright%5D%3D%5Cdisplaystyle%5Cleft%5B%5Cbegin%7Barray%7D%7Brrr%7Cr%7D1%261%263%260%5C%5C2-2%281%29%263-2%281%29%267-2%283%29%260%5C%5C-1%26-2%26-4%260%5Cend%7Barray%7D%5Cright%5D%3D%5C%5C%5C%5C%5C%5C%5Cdisplaystyle%5Cleft%5B%5Cbegin%7Barray%7D%7Brrr%7Cr%7D1%261%263%260%5C%5C0%261%261%260%5C%5C-1%26-2%26-4%260%5Cend%7Barray%7D%5Cright%5D" />

ahora hagamos,

<img src="https://tex.z-dn.net/?f=F_%7B3%7D%2BF_%7B1%7D" />

entonces,

<img src="https://tex.z-dn.net/?f=%5Cdisplaystyle%5Cleft%5B%5Cbegin%7Barray%7D%7Brrr%7Cr%7D1%261%263%260%5C%5C0%261%261%260%5C%5C-1%26-2%26-4%260%5Cend%7Barray%7D%5Cright%5D%3D%5Cleft%5B%5Cbegin%7Barray%7D%7Brrr%7Cr%7D1%261%263%260%5C%5C0%261%261%260%5C%5C-1%2B1%26-2%2B1%26-4%2B3%260%5Cend%7Barray%7D%5Cright%5D%3D%5C%5C%5C%5C%5C%5C%5Cleft%5B%5Cbegin%7Barray%7D%7Brrr%7Cr%7D1%261%263%260%5C%5C0%261%261%260%5C%5C0%26-1%26-1%260%5Cend%7Barray%7D%5Cright%5D" />

finalmente podemos hacer,

<img src="https://tex.z-dn.net/?f=F_%7B2%7D%2BF_%7B3%7D" />

entonces

<img src="https://tex.z-dn.net/?f=%5Cleft%5B%5Cbegin%7Barray%7D%7Brrr%7Cr%7D1%261%263%260%5C%5C0%261%261%260%5C%5C0%26-1%26-1%260%5Cend%7Barray%7D%5Cright%5D%3D%5Cleft%5B%5Cbegin%7Barray%7D%7Brrr%7Cr%7D1%261%263%260%5C%5C0%261%261%260%5C%5C0%26-1%2B1%26-1%2B1%260%5Cend%7Barray%7D%5Cright%5D%3D%5Cleft%5B%5Cbegin%7Barray%7D%7Brrr%7Cr%7D1%261%263%260%5C%5C0%261%261%260%5C%5C0%260%260%260%5Cend%7Barray%7D%5Cright%5D" />

logicamente, nota que las operaciones entre filas, no las he mencionada, para el vector nulo, porque siempre van a seguir siendo cero, cero mas cero, cero menos 2 veces cero, es un cero más elegante pero sigue siendo cero, finalmente nota que, el sistema de ecauoines de tres ecuaciones con tres incógnitas se redujo a un sistema de dos ecuaciones con tres incógnitas y eo sabemos que tiene por respuesta INFINITAS SOLUCIONES.

Entonces, armamos un "patrón" de soluciones, pero primera, armemos las soluciones, supongamos que,

<img src="https://tex.z-dn.net/?f=c_%7B3%7D%3Dt" />

entonces del segundo renglón que obtuvimos tenemos que,

<img src="https://tex.z-dn.net/?f=%281%29c_%7B2%7D%2B%281%29c_%7B3%7D%3D0%5C%5Cc_%7B2%7D%3D-c_%7B3%7D%3D-t%5C%5Cc_%7B2%7D%3D-t" />

y con el primer renglón, tenemos que,

[img = 10]

entonces, como nos pide que hallemos los valores de las constantes, basta considerar un valor para t, el que tu quieras.

Y de ahí encuentras el valor de las constantes, por lo tanto, el sistema depende del valor de un parámetro, por lo tanto es linealmente dependiente¡¡.

Hay muchas combinaciones lineales, además del t = 0, puede ser t = 1, y obtienes sus respectvas constantes.

Y eso sería todo espero tes sirva y sit eines alguna duda me avisas

[img = 11]

lo que hemmos hecho, es crear un parámetro, usando a la variable que se eliminó, listo, entonces, las soluciones, serán.