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Dados los vectores?

Dados los vectores. 1. - u = ( - 2x, 4x + y) y v = (2y + 4, - 5) Encontrar el ángulo que forman el vector 'u' y el vector 'v' 2 - . Dados los vectores A = (3, 0, 2) B = (4, 3, , 0) y C = (8, 1, - 1) a)Demostrar que A, B y C son los vértices de un triángulo rectángulo. B)Calcule las longitud de los lados que forma el ángulo recto. 3 - . Encuentre los valores de 'k' para los cuales la distancia entre los puntos : P1 = (2, - 3, - 1) y P2 = (k, - 3, 2k) es √10. 4. - Encontrar un vector ortogonal al vector u = (1, 2, - 1, 3) y que tenga norma igual a 7. Espero me puedan ayudar de antemano gracias.

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En resumen

Pasamos a resolver cada punto : 1) Aquí estamos en el plano xy, y cada vector parte desde el origen, empezamos hallando el ángulo que describe con el eje horizontal cada uno : <img src="https://tex.z-dn.net/?

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LuiisFerD8853
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Pasamos a resolver cada punto : 1) Aquí estamos en el plano xy, y cada vector parte desde el origen, empezamos hallando el ángulo que describe con el eje horizontal cada uno : <img src="https://tex.z-dn.net/?f=%5Calpha%20_%7Bu%7D%20%3D%20arctg%28%5Cfrac%7B4x%2By%7D%7B-2x%7D%20%29%5C%5C%5Calpha%20_%7Bv%7D%20%3D%20arctg%28%5Cfrac%7B-5%7D%7B2y%2B4%7D%20%29" />Luego nos queda que el ángulo que forman es : <img src="https://tex.z-dn.net/?f=%5Cbeta%20%3D%20%5Calpha%20_%7Bu%7D%20-%20%5Calpha%20_%7Bv%7D" />Según los valores de x e y que se usen va a variar el ángulo.

2)a) Dados estos vectores, nos queda hallar los lados del triángulo que serán los segmentos AB, BC y AC.

<img src="https://tex.z-dn.net/?f=AB%20%3D%20%28x_%7BA%7D-%20x_%7BB%7D%2C%20y_%7BA%7D%20-y_%7BB%7D%2C%20z_%7BA%7D%20-z_%7BB%7D%20%29%3D%28-1%2C-3%2C2%29.%5C%5CBC%20%3D%20%28x_%7BB%7D-%20x_%7BC%7D%2C%20y_%7BB%7D%20-y_%7BC%7D%2C%20z_%7BB%7D%20-z_%7BC%7D%20%29%3D%28-4%2C2%2C1%29.%5C%5CAC%20%3D%20%28x_%7BA%7D-%20x_%7BC%7D%2C%20y_%7BA%7D%20-y_%7BC%7D%2C%20z_%7BA%7D%20-z_%7BC%7D%20%29%3D%28-5%2C-1%2C3%29." />Si forman un triángulo rectángulo eso indica que uno de sus ángulos es 90°, lo que significa que hay 2 segmentos cuyo producto escalar es cero.

<img src="https://tex.z-dn.net/?f=AB.BC%20%3D%20%28-1%2C-3%2C2%29.%28-4%2C2%2C1%29%20%3D%204%20-6%2B2%20%3D%200." />AB y BC son perpendiculares, hemos hallado el ángulo recto.

B) Para este punto basta con aplicar pitágoras a AB y BC : <img src="https://tex.z-dn.net/?f=%7C%7CAB%7C%7C%20%3D%20%5Csqrt%7B%28-1%29%5E%7B2%7D%20%2B%20%28-3%29%5E%7B2%7D%20%2B%202%5E%7B2%7D%20%20%7D%3D%5Csqrt%7B1%2B9%2B4%7D%20%3D%20%5Csqrt%7B14%7D%20%5C%5C%7C%7CBC%7C%7C%20%3D%20%5Csqrt%7B%28-4%29%5E%7B2%7D%20%2B%20%282%29%5E%7B2%7D%20%2B%201%5E%7B2%7D%20%20%7D%3D%5Csqrt%7B16%2B4%2B1%7D%20%3D%20%5Csqrt%7B21%7D" />3) En este punto basta hallar el vector con origen en P1 y extremo en P2 : <img src="https://tex.z-dn.net/?f=P1P2%20%3D%20%28k-2%2C-3%2B3%2C2k%2B1%29%20%3D%20%28k-2%2C0%2C2k%2B1%29" />Aplico Pitágoras : <img src="https://tex.z-dn.net/?f=%7C%7CP1P2%7C%7C%20%3D%20%5Csqrt%7B%28k-2%29%5E%7B2%7D%2B%282k%2B1%29%5E%7B2%7D%20%20%7D%20%3D%20%5Csqrt%7B10%7D%20%5C%5C%20%28k-2%29%5E%7B2%7D%2B%282k%2B1%29%5E%7B2%7D%20%3D%2010%5C%5Ck%5E%7B2%7D%20-4k%2B4%20%2B%204k%5E%7B2%7D%2B4k%2B1%20%3D%2010%5C%5C5k%5E%7B2%7D%20%2B%205%20%3D%2010%5C%5C5k%5E%7B2%7D%20-%205%20%3D%200%5C%5C" />Resolvemos la ecuación cuadrática : <img src="https://tex.z-dn.net/?f=k%20%3D%205k%20%3D%20-5" />Para estos valores tengo la distancia solicitada.

4) El vector buscado se puede obtener planteando que el producto escalar de este con u es cero : sea <img src="https://tex.z-dn.net/?f=v%20%3D%20%28a%2C%20b%2C%20c%2C%20d%29" /><img src="https://tex.z-dn.net/?f=u.v%20%3D%20a%20%2B%202b%20-c%20%2B%203d%20%3D%200" />Además debe cumplirse que : [img = 10]Hay infinitos vectores que cumplen estas dos condiciones en simultáneo.

Uno de ellos que cumple la primera ecuación es (1, 1, 0, - 1), y todo vector paralelo a este cumplirá también con la condición de perpendicularidad así que creo un vector (a, a, 0, - a) siendo a un real a determinar con la condición de módulo : [img = 11][img = 12]Con lo que un vector ortogonal a u (de los infinitos que existen, puede hallarse uno distinto y mientras cumpla las dos condiciones anteriores la respuesta sigue siendo correcta) y cuyo módulo es 7 es : [img = 13].

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