Dado el conjunto S = {(x, y, 0) / x, y Є R}?

Para que S sea un subespacio de V, entonces V debe ser capaz de contener al menos a S, esto es :

V = {(x, y, z) | x, y, zЄ R}

donde z es cualquier número real, o al menos z = 0, si cualquiera de esas condiciones se cumple, entonces S es un subespacio de V.

Tomamos dos elementos de V :

v1 = (x1, y1, z1)

v2 = (x2, y2, z2)

su suma debe estar también en V

v1 + v2 = (x1 + x2, y1 + y2, z1 + z2)

Si zi = - z2, entonces la suma pertenece a S, pero en cualquier otro caso pertenece a V, por lo tanto, S es un subespacio de V.