Dado el conjunto S = {U_1, U_2 } donde U_1 = (5, 1) y U_2 = ( - 3, - 2) Demostrar que S genera a R ^ 2?

Para demostrar que un conjunto genera un espacio vectorial hay que demostrar que todo vector perteneciente al espacio vectorial puede ser escrito como como combinación lineal de los vectores del conjunto.

Sin embargo en el caso de <img src="https://tex.z-dn.net/?f=R%5E%7Bn%7D%20" /> Si se tiene un conjunto de vectores pertenecientes a<img src="https://tex.z-dn.net/?f=R%5E%7Bn%7D%20" />, dicho conjunto es dedimensión n (Número de elementos que tiene el conjunto)y ademas estos vectores son linealmente independiente, entonces fel conjunto es una base de<img src="https://tex.z-dn.net/?f=R%5E%7Bn%7D%20" /> y por lo tanto genera<img src="https://tex.z-dn.net/?f=R%5E%7Bn%7D%20" />

Lo que quiere decir que como la dimensión del conjunto es 2, basta con demostrar que son linealmente independientes para decir que genera<img src="https://tex.z-dn.net/?f=R%5E%7B2%7D%20" />

Si dos vectores son linealmente independiente (li) uno no se puede escribir como combinación lineal del otro, que es lo mismo que decir que su combinación lineal es cero si y lo si los escalares son cero.

Escribamos entonces como combinacion lineal y se demostrara que sus escalares son cero y por lo tanto son li.

Λ(5, 1) + β( - 3, - 2) = (0, 0)

⇒ 5λ - 3β = 0

yλ - 2β = 0

Suma la primera ecuacion con - 5 veces la segunda

⇒5λ - 5λ - 3β + 10β = 0

⇒ 7β = 0 ⇒ β = 0 / 7 = 0 ⇒ β = 0

Sustituimos el valor de β en la segunda ecuación

λ - 2 * 0 = 0 ⇒λ - 0 = 0⇒λ = 0

Por lo tanto los vectores son li, pertenecen a<img src="https://tex.z-dn.net/?f=R%5E%7B2%7D%20" /> y el conjunto formado por ellos S es de dimensión 2 lo que significan que es una base de<img src="https://tex.z-dn.net/?f=R%5E%7B2%7D%20" />y en particular como toda base genera el espacio entonces S genera a<img src="https://tex.z-dn.net/?f=R%5E%7B2%7D%20" />.