Dado el conjunto S = {U_1, U_2 } donde U_1 = (5, 1) y U_2 = ( - 3, - 2) Demostrar que S genera a R ^ 2?

Para demostrar que un conjunto genera un

espacio vectorial hay que demostrar que todo vector perteneciente al espacio

vectorial puede ser escrito como como combinación lineal de los vectores del

conjunto.

Sin embargo en el caso de <img src="https://tex.z-dn.net/?f=R%5E%7Bn%7D%20" /> Si

se tiene un conjunto de vectores pertenecientes a<img src="https://tex.z-dn.net/?f=R%5E%7Bn%7D%20" />,

dicho conjunto es dedimensión n (Número de elementos que tiene el

conjunto)y además estos vectores son linealmente independiente, entonces el conjunto es una base de<img src="https://tex.z-dn.net/?f=R%5E%7Bn%7D%20" /> y por lo tanto

genera<img src="https://tex.z-dn.net/?f=R%5E%7Bn%7D%20" />

Lo que quiere decir que como la dimensión del

conjunto es 2, basta con demostrar que son linealmente independientes para

decir que genera<img src="https://tex.z-dn.net/?f=R%5E%7B2%7D%20" />

Si dos vectores sonlinealmente independiente (li)uno no se puede escribir como combinación lineal

del otro, que es lo mismo que decir que su combinación lineal es cero si y lo

si los escalares son cero.

Escribamos entonces como combinacion lineal y se

demostrara que sus escalares son cero y por lo tanto son li.

Λ(5, 1) + β( - 3, - 2) = (0, 0)

⇒ 5λ - 3β = 0

yλ - 2β = 0

Suma la primera ecuacion con - 5 veces la

segunda

⇒5λ - 5λ - 3β + 10β = 0

⇒ 7β = 0 ⇒ β = 0 / 7 = 0 ⇒β = 0

Sustituimos el valor de β en la segunda

ecuación

λ - 2 * 0 = 0 ⇒λ - 0 = 0⇒λ = 0

Por lo tanto los vectores son li, pertenecen

a<img src="https://tex.z-dn.net/?f=R%5E%7B2%7D%20" /> y el conjunto formado por ellos (S) es de

dimensión 2, lo que significan que es una base de<img src="https://tex.z-dn.net/?f=R%5E%7B2%7D%0A" />y en particular como toda base genera el espacio entonces S genera

a<img src="https://tex.z-dn.net/?f=R%5E%7B2%7D%20" />.