Dada la ecuación de una superelipse (x / 3) ^ 4 + (y / 4) ^ 4 = 1, siendo a y b los ejes de la figura. A). Determinar la derivada dy / dx , cuando x = 1 b). Determinar la ecuación de la recta tangente a la superelipse en el punto de abscisa x = 1 .
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En resumen
Cuando x = 1 la pendiente de la recta tangente a la gráfica de la superelipse en ese punto viene dada por la derivada evaluadads en ese punto ; es decir, <img src="https://tex.z-dn.net/?
Cuando x = 1 la pendiente de la recta tangente a la gráfica de la superelipse en ese punto viene dada por la derivada evaluadads en ese punto ; es decir, <img src="https://tex.z-dn.net/?f=%5Cbold%7B%5Cfrac%20%7Bdy%7D%7Bdx%7D%3D-%5Cfrac%7B1%7D%7B6%5Csqrt%5B4%5D%7B125%7D%7D%7D" /> y la ecuación de la recta tangente es<img src="https://tex.z-dn.net/?f=%5Cbold%7By%3D-%5Cfrac%7B1%7D%7B6%5Csqrt%5B4%5D%7B125%7D%7Dx%2B%20%5Cfrac%7B27%7D%7B2%5Csqrt%5B4%5D%7B125%7D%7D%7D%20" />Explicación paso a paso : Vamos a derivar implicitamente la expresión para hallar dy / dx.
Luego evaluamos la función y la derivada cuando x = 1 para hallar la pendiente de la recta tangente y el punto de tangencia.
Con esa información construiremos la ecuación de la recta tangente solicitada.
A) Determinar la derivada dy / dx , cuando x = 1 Derivando la superelipse término a término con respecto a x<img src="https://tex.z-dn.net/?f=%5Cfrac%7B4%28x%29%5E3%7D%7B%283%29%5E4%7D%2B%5Cfrac%7B%28y%29%5E3%7D%7B%284%29%5E3%7D%5Cfrac%7Bdy%7D%7Bdx%7D%3D0%20%5Cqquad%20%5CRightarrow" /> <img src="https://tex.z-dn.net/?f=%5Cbold%7B%5Cfrac%20%7Bdy%7D%7Bdx%7D%3D-%20%5Cfrac%7B%5Cfrac%7B4%28x%29%5E3%7D%7B%283%29%5E4%7D%7D%7B%5Cfrac%7B%28y%29%5E3%7D%7B%284%29%5E3%7D%7D%3D-%20%5Cfrac%7B%284%29%5E4%20%28x%29%5E3%7D%7B%283%29%5E4%20%28y%29%5E3%7D%7D" /> Evaluando la superelipse y la derivada cuando x = 1<img src="https://tex.z-dn.net/?f=%5Cfrac%7B%281%29%5E4%7D%7B%283%29%5E4%7D%2B%5Cfrac%7B%20%28y%29%5E4%7D%7B%284%29%5E4%7D%3D1%20%5Cqquad%20%5CRightarrow%20%5Cqquad%20y%3D%20%5Cfrac%7B8%20%5Csqrt%5B4%5D%7B5%7D%7D%7B3%7D" /> <img src="https://tex.z-dn.net/?f=%5Cbold%7B%5Cfrac%20%7Bdy%7D%7Bdx%7D%3D-%5Cfrac%7B1%7D%7B6%20%5Csqrt%5B4%5D%7B125%7D%7D%7D" /> b) Determinar la ecuación de la recta tangente a la superelipse en el punto de abscisa x = 1 La pendiente m de la recta tangente se calcula evaluando la función derivada en el punto de tangencia.
La ecuación punto - pendiente de la recta, de pendiente m y que pasa por el punto (x₁, y₁), viene dada por : <img src="https://tex.z-dn.net/?f=%28y%20-%20y_%7B1%7D%29%3Dm%28x-x_%7B1%7D%29" /> En este caso, la ecuación de la recta tangente es : <img src="https://tex.z-dn.net/?f=%28y-frac%7B8%20%5Csqrt%5B4%5D%7B5%7D%7D%7B3%7D%29%3D-%5Cfrac%7B1%7D%7B6%20%5Csqrt%5B4%5D%7B125%7D%7D%20%28x-1%29%20%5Cqquad%20%5CRightarrow" /> <img src="https://tex.z-dn.net/?f=%5Cbold%7By%3D-%5Cfrac%7B1%7D%7B6%20%5Csqrt%5B4%5D%7B125%7D%7Dx%2B%20%5Cfrac%7B27%7D%7B2%20%5Csqrt%5B4%5D%7B125%7D%7D%7D%20" />.
Cuando x = 1 la pendiente de la recta tangente a la gráfica de la superelipse en ese punto viene dada por la derivada evaluadads en ese punto ; es decir, <img src="https://tex.z-dn.net/?