Cuantos términ se han tomado en una progresión geométrica sabiendo que el primero es 7 el ultimo 448 y su suma 889?

Buenas, Primero tengamos claro la progresión geométrica, en este caso los números de la progresión de van amplificando por la razón, así, el término general de la progresión está dado por : <img src="https://tex.z-dn.net/?f=a_%7Bn%7D%20%3D%20a_1%20%5Ccdot%20r%5E%7Bn-1%7D" />Donde, <img src="https://tex.z-dn.net/?f=a_n%20%5Crightarrow%20%5Ctext%7Bes%20el%20n-%5C%27esimo%20t%5C%27ermino%20de%20la%20progresi%5C%27on.%20%7D%5C%5Ca_%7B1%7D%20%5Crightarrow%20%5Ctext%7Bes%20el%20primer%20t%5C%27ermino%20de%20la%20progresi%5C%27on.%7D%5C%5Cr%20%5Crightarrow%20%5Ctext%7Bes%20la%20raz%5C%27on%20de%20la%20progresi%5C%27on.%20%7D%5C%5Cn%20%5Crightarrow%20%5Ctext%7Bes%20la%20cantidad%20de%20t%5C%27erminos%20de%20la%20progresi%5C%27on.%20%7D%5C%5C" />Nos piden calcular n que corresponde a la cantidad de términos tomados de la progresión, nos dan a₁ y nos dicen que <img src="https://tex.z-dn.net/?f=a_%7Bn%7D%20%3D%20448" /> y que la suma de los n primeros términos son 889.

Pues bien, sustituyamos los datos en el término general : <img src="https://tex.z-dn.net/?f=a_%7Bn%7D%20%3D%20a_1%20%5Ccdot%20r%5E%7Bn-1%7D%20%5C%5C%5C%5C448%20%3D%207%20%5Ccdot%20r%5E%7Bn-1%7D%5C%5C%5C%5C%5Cfrac%7B448%7D%7B7%7D%20%3D%20r%5E%7Bn-1%7D%5C%5C%5C%5C%20%5Cboxed%7Br%5E%7Bn-1%7D%20%3D%2064%7D" />Ya tenemos una expresión para r y n , ahora utilicemos el dato de la suma.

La suma de los n términos se define como : <img src="https://tex.z-dn.net/?f=S_%7Bn%7D%20%3D%20a_%7B1%7D%5Cfrac%7Br%5E%7Bn%7D%20-1%7D%7Br%20-%201%7D" />Sabemos que la suma de todos los elementos es 889 y el valor del primer término, por lo tanto : <img src="https://tex.z-dn.net/?f=889%20%3D%207%20%5Ccdot%20%5Cfrac%7Br%5E%7Bn%7D%20-1%7D%7Br%20-%201%7D%5C%5C%5C%5C%5Cfrac%7B889%7D%7B7%7D%20%3D%20%5Cfrac%7Br%5E%7Bn%7D%20-1%7D%7Br%20-%201%7D%5C%5C%5C%5C127%28r-1%29%20%3D%20r%5E%7Bn%7D%20-1%20%5C%5C%5C%5C127r%20-%20127%20%3D%20r%5E%7Bn%7D%20-%201%20%5C%5C%20%5C%5Cr%5E%7Bn%7D%20-%20127r%20%2B%20126%20%3D%200" />Perfecto, tenemos otra expresión.

Fíjate que hay un término similar, podemos hacer aparecer el término que encontramos con la ecuación del término general.

Hagamos lo siguiente, dividamos la ecuación por r : <img src="https://tex.z-dn.net/?f=%28r%5E%7Bn%7D%20-%20127r%20%2B%20126%20%3D%200%29%5C%20%5Cdiv%20r%20%5C%20%5Ctext%7By%7D%20%5C%20r%20%5Cneq%200%20%5C%5C%20%5C%5C%5C%5Cr%5E%7Bn-1%7D%20-%20127%20%2B%20%5Cfrac%7B126%7D%7Br%7D%20%3D%200%20%5C%5C%20%5C%5C%5Ctext%7BSabemos%20que%20%7D%20r%5E%7Bn-1%7D%20%3D%2064%20%5Ctext%7B%2C%20entonces%20sustituimos%3A%7D%20%5C%5C%20%5C%5C64%20-%20127%20-%20%5Cfrac%7B126%7D%7Br%7D%20%3D%200%20%5C%5C%20%5C%5C%5Cfrac%7B126%7D%7Br%7D%20%3D%2063%20%5C%5C%20%5C%5C%5Cboxed%7Br%20%3D%20%5Cfrac%7B126%7D%7B63%7D%20%3D%202%7D" />Bien, conocida la razón de la progresión geométrica, nuevamente utilizamos la ecuación obtenida con el término general : <img src="https://tex.z-dn.net/?f=r%5E%7Bn-1%7D%20%3D%2064%20%5C%5C%5C%5C2%5E%7Bn-1%7D%20%3D%202%5E%7B6%7D%20%5C%5C%5C%5C%5C%20%5Ctext%7BIgualamos%20exponentes%3A%7D%5C%5C%20%5C%5Cn%20-%201%20%3D%206%20%5C%5C%5C%5C%5Cboxed%7Bn%20%3D%207%7D%5C%5C%5C%5C%5Ctherefor%20%5Ctextbf%7BR%3A%20Se%20han%20tomado%207%20t%5C%27erminos%20de%20la%20progresi%5C%27on%20geom%5C%27etrica.%7D" />.