¿ Cuantas fracciones propias e impropias irreducibles, cuyo denominador sea 36, existen?

Empezamos recordando que las fracciones propias son aquellas que no llegan a valer un entero, es decir el valor absoluto de su forma decimal es menor que 1, es decir, el valor absoluto del numerador es menor que el del denominador.

Y para que sea irreducible numerador y denominador no deben tener divisores en común a excepción de 1 y - 1, los divisores de 36 son : {1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18, 36} y sus valores opuestosEl numerador no debe ser divisible por estos números.

Entonces tenemos las primeras dos fracciones propias : <img src="https://tex.z-dn.net/?f=%5Cfrac%7B1%7D%7B36%7D%2C%20-%5Cfrac%7B1%7D%7B36%7D" />Ahora veamos los números entre 1 y 36 que no son divisibles por los valores arriba citados, estos son : {5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 25, 29, 31, 35} y sus valores opuestos, siendo estos los valores que puede tomar el numerador.

Para obtenerlos habría que dividir cada número entre 1 y 36 por cada uno de los divisores de 36 y ver si el cociente es entero en al menos un caso, si lo es descartar ese número y sino entraría en el conjunto de los posibles numeradores.

En total tenemos aquí 22 posibles numeradores que sumados a las 2 fracciones anteriores dan 24 fracciones propias irreducibles.

En cuanto a las fracciones impropias son aquellas que valen más de un entero, es decir su numerador es mayor que su denominador, mas no puede ser múltiplo de este sino degenerarían en la fracción aparente.

En este caso serían infinitas fracciones impropias e irreducibles cuyo denominador es 36, serían todas las fracciones cuyo numerador en valor absoluto sea mayor de 36, no sea múltiplo de 36 y no tenga divisores en común con 36 a excepción de 1 y - 1.

Respuesta : existen 24 fracciones propias irreducibles con denominador 36 e infinitas fracciones impropias con numerador 36.