¿cuantas fracciones irreductibles con denominador 12 existen entre 2 y 3 1 / 2?

Las fracciones irreducibles tienen la característica de que sus términos (numerador y denominador) no tienen factores primos comunes excepto el 1, por tanto no se pueden reducir más.

Es como decir que el numerador y denominador son coprimos.

Primero hay que encontrar las fracciones que representan al 2 y al 3 1 / 2 cuando tienen el 12 como denominador.

El 2 puede representarse como la fracción impropia <img src="https://tex.z-dn.net/?f=%20%5Cfrac%7B24%7D%7B12%7D%20" /> y ya tenemos este número como fracción de denominador 12

El 3 1 / 2 es como decir, 3, 5 (tres y medio)y para pasarlo a fracción con denominador 12 se hace esto :

<img src="https://tex.z-dn.net/?f=3%2C5%20%3D%20%5Cfrac%7B35%7D%7B10%7D%20%3D%20%5Cfrac%7B7%7D%7B2%7D%20%3D%20%5Cfrac%7B7%2A6%7D%7B2%2A6%7D%3D%20%5Cfrac%7B42%7D%7B12%7D%20%20" />

que también es impropia porque el numerador es mayor que el denominador.

Es decir que el intervalo que nos pide es entre las fracciones :

<img src="https://tex.z-dn.net/?f=%20%5Cfrac%7B24%7D%7B12%7D%20" /> y<img src="https://tex.z-dn.net/?f=%20%5Cfrac%7B42%7D%7B12%7D%20" />

Ese intervalo consta de todos los números que tenemos entre los dos numeradores, o sea, entre 24 y 42.

Como ya sabemos que la irreducible tiene como condición que numerador y denominador no deben tener factores primos comunes, descompongo el 12 en sus factores primos para ver cuáles son :

12 = 2×2×3

Tengo que buscar ahora los números del numerador que hay entre 24 y 42 que no tengan esos factores cuando los descompongo factorialmente (como el 12 lleva el 2, ya descarto de entrada a todos los números pares) y serán :

25 = 5×5

29 = es nº primo y por tanto es válido al no tener otro divisor que el 1

31 = es nº primo y ocurrelo mismo que conel de arriba.

35 = 5×7

37 = es primo

41 = es primo

Total = 6 números que forman las fracciones irreducibles.

<img src="https://tex.z-dn.net/?f=%20%5Cfrac%7B25%7D%7B12%7D%20%2C%20%5Cfrac%7B29%7D%7B12%7D%20%2C%20%5Cfrac%7B31%7D%7B12%7D%20%2C%20%5Cfrac%7B35%7D%7B12%7D%20%2C%20%5Cfrac%7B37%7D%7B12%7D%20%2C%20%5Cfrac%7B41%7D%7B12%7D%20%20%5C%5C%20%20%5C%5C%20Saludos." />.