Cuando tenemos una masa de 5 Kg que se une a un resorte de constante k = 5 N / m y a un amortiguador de constante c = 26 N?

Sabemos que la fuerza teóricamente, se define como :

F = m * a

Donde a, puede calcularse como la segunda derivada del desplazamiento despecto al tiempo.

De tal modo que :

<img src="https://tex.z-dn.net/?f=F%3Dm%2A%5Cfrac%7B%20d%5E%7B2%7D%20x%7D%20%7Bd%20x%5E%7B2%7D%20%7D" />

Además sabemos que la fuerza elástica viene dada por :

F = - k * x

Al igualar las ecuaciones tenemos que :

<img src="https://tex.z-dn.net/?f=-k%2Ax%3D%20m%2A%5Cfrac%7B%20d%5E%7B2%7D%20x%7D%20%7Bd%20x%5E%7B2%7D%20%7D" />

Despejando :

<img src="https://tex.z-dn.net/?f=%5Cfrac%7B%20-k%7D%20%7Bm%7D%20%2Ax%3D%5Cfrac%7B%20d%5E%7B2%7D%20x%7D%20%7Bd%20x%5E%7B2%7D%20%7D" />

Obteniendo una ecuación diferencial de segundo grado, cuya solución viene dada por :

<img src="https://tex.z-dn.net/?f=x%3D%20e%5E%7B%5Cbeta%20t%7D%20" />

donde la segunda derivada de x es :

<img src="https://tex.z-dn.net/?f=%5Cfrac%7B%20d%5E%7B2%7D%20x%7D%20%7Bd%20x%5E%7B2%7D%20%7D%20%3D%20%20%5Cbeta%5E%7B2%7D%20e%5E%7B%5Cbeta%20t%7D%20" />

Sustituyendo en la ED :

<img src="https://tex.z-dn.net/?f=%5Cfrac%7B%20-k%7D%20%7Bm%7D%20%2A%20e%5E%7B%5Cbeta%20t%7D%20%3D%5Cbeta%5E%7B2%7D%20e%5E%7B%5Cbeta%20t%7D" />

Donde :

<img src="https://tex.z-dn.net/?f=%5Comega%3D%20%20%5Csqrt%7B%5Cfrac%7Bk%7D%20%7Bm%7D%7D%20" />

y<img src="https://tex.z-dn.net/?f=%5Comega%20-%5C%20%5Ctextgreater%20%5C%20%20%5Cbeta" />

Aplicando Euler :

<img src="https://tex.z-dn.net/?f=X%3D%20C1%20e%5E%7Bj%20%5Comega%20t%20%7D%20%2B%20C2e%5E%7B-j%20%5Comega%20t%20%7D" />

de modo que :

<img src="https://tex.z-dn.net/?f=X%3DA%20Cos%20%28%5Comega%20t%20%2B%20%5Cphi%29%20%20" />

Donde =

ω = 5 / 5 = 1

de modo que :

[img = 10]

Ahora sabemos que cuando t = 0

X(t) = - 0, 1 m

v(t) = 1, 94 m / s

Sabemos que v(t) es la primera derivada de x(t) por lo que :

v(t) = - A Sen(ωt + ∅)

Sustituyendo los valores inciales :

1, 94 = - A Sen(∅) (1) - 0, 1 = A cos(∅) (2)

Despejando A de 1 tenemos que :

A = - 1, 94 / sen(Ф)

Sustituyendo en (2) - 0, 1 = - 1, 94 / sen(Ф) Cos(Ф)

0, 1 / 1, 94 = ctg(∅)

∅ = 0, 61 º

A = - 1, 94 / sen (∅) = - 3, 37.

Con estos valores podemos plantear que la solución viene dada por :

X(t) = - 3, 37 Cos(t + 0, 61º).