Cuales son las leyes de los exponentes?

Primera ley : Producto de potencias con la misma base.

Ejemplo : a� � a�Por la definici�n de potencia se tiene : dondeaaparece 5 veces como factor, por lo tanto : a� � a� = a� + � = Al generalizar se afirma que : El producto de potencias con la misma base (distinta de cero) es igual a la base elevada a la suma de los exponentes.

Segunda ley : Cociente de potencias con la misma baseEjemplo : Por la definici�n de potencia se tiene : Al cancelar factores iguales queda : Al generalizar queda : El cociente de potencias con la misma base es igual a la base elevada a la diferencia de los exponentes.

Obs�rvese ahora el siguiente ejemplo : y se sabe que : Por transitividad : De lo que se concluye que : Todo n�mero exponente negativo es igual a su inverso con exponente positivoTercera ley : Potencia de una potenciaEjemplo : Por la definici�n de potencia se tiene : Apoy�ndose en la ley 1 ; Generalizando se tiene que : La potencia de otra potencia de la misma base (distinta de cero) es igual que la base elevada al producto de los exponentes.

Cuarta ley : Potencia de un productoEjemplo : (ab)�Al aplicar la definici�n de potencia : (ab)� = ab � ab � abAplicando la ley conmutativa : (ab)� = a � a � a � b � b � bY como la potencia es una multiplicaci�n abreviada, queda : a�b�Generalizando, se tiene que : La potencia de un producto es igual que el producto de la misma potencia de los factoresQuinta ley : Cuando un cociente se eleva a una potenciaEjemplo : Aplicando la definici�n de potencia : Abreviando la multiplicaci�n de fracciones : Al generalizar se tiene que : Para elevar una fracci�n a un exponente se eleva el numerador y el denominador a dicho exponente.

Los siguientes casos se deducen de las leyes anteriores.

En la divisi�n de potencias de la misma base y exponente se aplica la segunda ley y resulta que : Pero el cociente de la divisi�n (cuando el divisor y dividendo son iguales) es 1, entonces : Por transitividad : a� = 1De donde se generaliza que : Todo n�mero diferente de cero con exponente 0 es igual a 1Si se tiene la expresi�n : Aplicando la definici�n de potencia : Se cancelan los dividendos y divisores iguales y se tiene : Por transitividad : a� = aGeneralizando : Todo n�mero elevado a la primera potencia es igual que ese mismo n�meroMenci�n especial merece el caso de la potenciaci�n con exponente fraccionario.

Ejemplo : Si se eleva a la potencia que indica el denominador del exponente resulta que : Por la definici�n : Aplicando la primera ley de los exponentes, se tiene : Por la propiedad transitiva : Si se extrae la ra�z cuadrada a ambos miembros de la igualdad, se tiene : Al eliminarse la ra�z y la potencia (por ser operaciones inversas), se tiene que.