¿cuales es la forma de los números complejos?

Índice

(Este mismo índice aparece en el marco de la izquierda para facilitar consultas sucesivas)

Definición : operaciones, propiedades

Otras formas de representar números complejos

Forma binómica :

Parte real

Parte imaginaria

Módulo

Conjugado

Opuesto

Suma de complejos

Forma polar o módulo - argumento :

Argumento

Argumento principal

Producto de complejos

Fórmula de Moivre

Cambio de forma binómica a polar y viceversa

Forma exponencial :

Fórmula de Euler

Raíces n - ésimas de un número complejo

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Definición

Se puede considerar C como el conjunto de los pares ordenados de números reales z = (x, y) con las siguientesoperaciones :

Con estas operaciones C tiene la estructura decuerpo conmutativo

Elemento neutro :

Elemento opuesto :

Elemento unidad :

Elemento inverso : , siempre que

Nótese que el complejo (0, 1) verifica, es decir, (link a explicación de extensión de R añadiendo raices de ecuaciones algebraicas)

El cuerpo de los complejos es lo que se denomina uncuerpo algebraicamente cerrado, es decir, toda ecuación algebraica (polinómica) con coeficientes complejos tiene siempre al menos una raíz compleja (y por tanto las tiene todas).

El cuerpo de los complejosno es un cuerpo ordenado.

No puede darse en C una relación de orden total que respete las operaciones de suma y producto.

No tiene por tanto sentido comparar dos números complejos en la manera en que estamos acostumbrados a hacer con los reales.

Otras formas de representar los números complejos

1.

Forma binómica.

Podemos considerar C como unespacio vectorialisomorfo a, de este modo se tiene :

Gráficamente, podemos representar(y por tanto C) como un plano.

Para cada número complejo z, la primera componente, x, se denominaparte realy la segunda, y, se denominaparte imaginaria.

Obviamente, dos números complejos son iguales si y sólo si lo son simultáneamente sus partes reales y sus partes imaginarias.

Usando este tipo de representación, lasuma de complejosse corresponde con la suma de vectores.

Dados dos vectoresysu suma es

Se define elmódulode un número complejo como el módulo del vector que lo representa, es decir, si, entonces el módulo dees.

Elconjugadode un número complejo se define como su simétrico respecto del eje real, es decir, si, entonces el conjugado dees.

Elopuestode un número complejo es su simétrico respecto del origen.

Es fácil ver que se cumple, , por tanto podemos expresar el inverso de un númeroen la forma.

En vez de usar coordenadas cartesianas para representar a los puntos del plano podemos usar coordenadas polares, lo que da lugar a la siguiente forma de representación de los números complejos.

2. Forma polaro módulo - argumento

Otra forma de expresar un número complejo es la forma polar o forma módulo - argumento,

dondees el módulo de, y dondeqes unargumentode, esto es, qes un ángulo tal que

, .

De hecho se puede definir el argumento de un número complejo no nulo como el conjunto de todos los posibles valoresqque verifican lo anterior, es decir,

Es claro, por tanto, que sies un valor particular del argumento de, entonces

Se denominaargumento principalal único valortal que, y se denota

Se verifica entonces que

.

Dos números complejosy, representados en forma polar son iguales si y sólo si sus módulos son iguales, y sus argumentos se diferencian en un número entero de vueltas, es decir, , con.

La forma polarde un número complejo es especialmente cómoda a la hora de multiplicar, ya que basta con multiplicar los módulos y sumar los argumentos, es decir, si, y, entonces

Del mismo modo se puede calcular el cociente de un complejo por otro no nulo sin más que dividir los módulos y restar los argumentos :

,

siempre que.

Las fórmulas anteriores pueden generalizarse para el producto de varios complejos, así, si, para, entonces

Finalmente, en el caso en que todos los factores sean iguales se obtiene lafórmula de Moivre :

Esta fórmula es también válida para exponentes enteros negativos, siempre que.

En particular tenemos otra expresión para el inverso de un número no nulo, .

(Aquí puedes ver unaaplicación de la fórmula de Moivre)

Cambio de forma binómica a polar y viceversa :

Cambio de binómica a polar

Cambio de polar a binómica

3.

Forma exponencial

Una variante de la forma polar se obtiene al tener en cuenta la conocida comofórmula de Euler :

para.

Esto nos permite escribir un número complejo en la forma siguiente, denominada forma exponencial :

Esta nueva forma es especialmente cómoda para expresar productos y cocientes ya que sólo hay que tener en cuenta las propiedades de la función exponencial (para multiplicar se suman exponentes y para dividir se restan).

En particular, para potencias con exponentes enteros se tiene.

Esto nos permite dar una nueva expresión para el inverso de un complejo no nulo en la forma.

Raíces n - ésimas de un número complejo

Estudiemos ahora las potencias con exponente racional de un número complejo.

Dado, sea, para un número natural p.

Si, puesto que, es decir, .

Por tanto, , y además, , o sea, , para.

De todos estos valores sólo p consecutivos son distintos, el resto resulta ser repetición sucesiva de valores ya obtenidos.

Por tanto, un número complejo tiene siempre p raíces p - ésimas distintas

, para.

Se puede observar que las p raíces pésimas tienen todas el mismo módulo, y sus argumentos se diferencian encada uno del siguiente, esto es, las raíces p - ésimas se encuentran en los vértices de un polígono regular de p lados incrito en la circunferencia de centro 0 y radio.

Como ejemplo, en la siguiente gráfica podemos ver las raíces quintas de

Puede verse lo mismo en la siguiente animación :

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