¿Cuál es el área limitada entre dos círculos concéntricos, si se sabe que el radio del mayor es R = x + 4 y que el radio del menor es r = x + 1?

Hola,

La manera más fácil e intuitiva es restarle al círculo de mayor área el círculo de menor área y en su diferencia encontrar el área.

Entonces tenemos el círculo 1 :

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Sustituimos R y r, según su valor en función de x y restamos :

<img src="https://tex.z-dn.net/?f=A_%7Bintermedia%7D%20%3D%20A_%7B1%7D%20-%20A_%7B2%7D%20%5C%5C%20%5C%5C%0AA_%7Bintermedia%7D%20%3D%20%5Cpi%20%5Ccdot%20%28%20R%5E%7B2%7D%20-%20r%5E%7B2%7D%29%20%5C%5C%20%5C%5C%0AA_%7Bintermedia%7D%20%3D%20%5Cpi%20%5Ccdot%20%28%20%28x%2B4%29%5E%7B2%7D%20-%20%28x%2B1%29%5E%7B2%7D%29%20%5C%5C%20%5C%5C%0AA_%7Bintermedia%7D%20%3D%20%5Cpi%20%5Ccdot%20%28x%5E%7B2%7D%20%2B%208x%20%2B%2016%20%20-%20x%5E%7B2%7D%20-%20%202x-%201%29%20%5C%5C%20%5C%5C%0A%5Cboxed%7BA_%7Bintermedia%7D%20%3D%20%5Cpi%20%286x%2B15%29%7D" />

Esa sería el área limitada entre ambos círculos.

Saludos : ).