Como resolver si es inyectava y sobreinyectava al ejercicio f (X) = × / × - 5?

Bueno, lo que nos pide es demostrar si la función es biyectiva.

Entonces debemos demostrar que es inyectiva y sobreyectiva.

Para la inyectividad, primero suponemos que :

f(a) = f(b)

debemos demostrar que :

a = b

entonces hagamos eso.

Antes de, definamos cual es el dominio de la función.

Estás de acuerdo que

<img src="https://tex.z-dn.net/?f=f%28x%29%3D%20%5Cfrac%7Bx%7D%7Bx-5%7D%20" />

el denominador no puede ser cero.

Porque algo sobre cero no existe.

Entonces :

x - 5≠0

x≠5

y ya tenemos nuestro dominio, son todos los reales excepto el "5".

Ahora si

Escojamos dos números del dominio, los llamaremos (a) y (b), vamos a suponer que es verdad que.

<img src="https://tex.z-dn.net/?f=f%28a%29%3Df%28b%29" />

es decir :

<img src="https://tex.z-dn.net/?f=%20%5Cfrac%7Ba%7D%7Ba-5%7D%20%3D%20%5Cfrac%7Bb%7D%7Bb-5%7D%20%20%5C%5C%20a%28b-5%29%3Db%28a-5%29%20%5C%5C%20ab-5a%3Dab-5b%20%5C%5C%20-5a%3D-5b%20%5C%5C%20a%3Db" />

y legas a eso, es decir la función efectivamente si es INYECTIVA.

Ahora para la sobreyectividad.

Primero vamos a despejar la "x".

De la función

<img src="https://tex.z-dn.net/?f=y%3D%20%5Cfrac%7Bx%7D%7Bx-5%7D%20%20%5C%5C%20y%28x-5%29%3Dx%20%5C%5C%20xy-5y%3Dx%20%5C%5C%20xy-x%3D5y%20%5C%5C%20x%28y-1%29%3D5y%20%5C%5C%20x%3D%20%5Cfrac%7B5y%7D%7By-1%7D%20" />

si hacemos la división de esa fracción, nos queda :

<img src="https://tex.z-dn.net/?f=x%3D5%2B%20%5Cfrac%7B5%7D%7By-1%7D%20" />

ahora estás de acuerdo que la única restricción de ésta nueva función es que y≠1

es decir existe un elemento del recorrido que no pertenece al codominio de la función .

Por lo tanto no es sobreyectiva.

<img src="https://tex.z-dn.net/?f=x%3D5%2B%20%5Cfrac%7B5%7D%7By-1%7D" />

pero lo que hacemos es cambiar la "x".

Por la "y"

<img src="https://tex.z-dn.net/?f=y%3D5%2B%20%5Cfrac%7B5%7D%7Bx-1%7D%20" />

espero te sirva y si tienes alguna duda me avisas :