Como resolver esta integral con la suma de riemann f(x) = 2x ^ 2 - 3x en el intervalo [0, 4]?

Tarea

Resolver esta integral con la suma de Riemann f(x) = 2x² - 3x en el intervalo [0, 4].

Hola!

Sumas de Riemann : ∫ₐᵇ f(x)dx = lim__n→∞ ∑ⁿ__k = 1 f(a + kΔx)ΔxΔx = (b - a) / n

1) Primero hallamos Δx por su ecuación.

2)Hallamos f(a + kΔx)Δx3) Para resolver la sumatoria debemos aplicar algunas de sus propiedades como : ∑(x + y) = ∑ x + ∑ y∑ ax + ∑ bx = a×∑ x + b×∑ b∑ k² = n(n + 1)(2n + 1) / 6∑ k = n(n + 1) / 2

4) Reducimos los termino lo máximo que podamos.

5) Con la expresión anteriormente hallada , ahora estamos en condiciones de calcular el limite, con lo cual debemos aplicar algunas propiedades importante de los limites : lim__n→∞ an² + bn = lim__n→∞ an² + lim__bn→∞ nlim__n→∞ an² = a×lim__n→∞ n² K / ∞ = 0

⇒ ∫ₐᵇ f(x)dx = lim__n→∞ ∑ⁿ__k = 1 f(a + kΔx)ΔxResultado = 56 / 3Verificamos, resolviendo la integral por el método tradicional.

Para resolver aplicamos Propiedades de Integrales : ∫ₐᵇ (cx² + dx )dx = ∫ₐᵇ cx²dx + ∫ₐᵇ dxdx c× ∫ₐᵇ x²dx + d×∫ₐᵇ xdx Primitivas de Función Polinómica : ∫ₐᵇ xⁿdx = xⁿ⁺1 / n + 1

∫₀⁴ 2x² - 3xdx = ∫₀⁴ 2x²dx - ∫₀⁴ 3xdx = 2∫₀⁴ 2x² - 3∫₀⁴ xdx = 2(x³ / 3)║₀⁴ - 3(x² / 2)║₀⁴ = 2(4³ / 3 - 0³ / 3) - 3(4² / 2 - 0² / 2) = 2(64 / 3 - 0) - 3(16 / 2 - 0) = 2×64 / 3 - 3×8 = 128 / 3 - 24 = (128 - 72) / 3 = 56 / 3 Verifica Obtuvimos el mismo valor que hallando la Integral por sumas de Riemann

Dejo 3 archivos con los cálculos paso a paso.

Saludos!