Como puedo demostrar que π (pi) es irracional?

Bueno primero estás de acuerdo que un número irracional no se puede expresar como una fracción.

Cierto.

Entonces una de las herramientas más importantes y más poderosas de la matemática, es la reducción al absurdo es decir a partir de la negación de nuestra hipótesis.

Deberemos llegar a alguna contradicción.

Como 1 = 0.

O cosas así.

Ahora el tema esbastante claro, dependiendo del grado de conocimiento que tengas, si ya viste cálculo, conceptos de convergencia, sucesiones de Taylor, además de un poco de análisis matemático.

La demostración es usando una razón trigonométrica escojamos la tangente de 45 = 1.

Verdad.

En escencia lo que debemos hacer es por reducción al absurdo que efectivamente "pi" tiene un número finito de sucesiones fraccionarias.

Lo cual nos debe llevar a una contradicción garantizándonos que "pi" es un irracional.

Te recomendaría que primero demuestres que el número "e" es un número irracional, no es que sea facílisimo.

Pero podrás entender mejor lo que sigue.

Ésta es la mejor y "más sencilla forma de demostrar".

Pero necesitas saber acerca de la función error de Guass.

Es muy útil.

Ahora eso de que los irracionales no pertenecen a los Reales es Falso.

Porque.

Todo empieza desde los número naturales son el conjunto inductivo más pequeño es decir nos garantiza que el cero pertenece a éste conjunto y a demás si "x" pertenece a éste conjunto entonces (x + 1) también debe pertenecer al conjunto, luego viene los enteros, son el conjunto de todos los inversos aditivos de los naturales.

Luego los racionales, aquellos que podemos escribir de la forma a / b con b distinto de cero.

Por el axioma de la arquimediana, y el axioma del supremo nos garantiza que éste conjunto es acotado.

Lo cual no garantiza que también existe un número real mayo que éste.

Luego viene los irracionales de la manito de los trascendentes.

Y todo ellos forman el conjunto de los números reales.

Y todos ellos forman el conjunto de números complejos.

Ya para acabar : la demostración es muy abstracta de acuerdo.

Ya te especificado los temas que tienes que ver.

Para entender mejor ésta demostración, y la demostración de la irracionalidad de "e" es mucho más versatil, es más bonita.

Elegante.

Y se entiende.

En todo caso

En en proceso de la demostración si no entiendes alguna parte me avisas.

Y lo revisamos.