Cecilia escribio en la pizarra 5 numeros naturales consecutivos y Beatriz escribio 7 numeros naturales consecutivos, de tal forma que los 12 numeros son diferentes. La suma de los numeros de Cecilia es igual a S, y la suma de los numeros de Beatriz tambien es S. Determine el menor valor posible de s.
En resumen
Cecilia escribio : x, x + 1, x + 2, x + 3 y x + 4.
Cecilia escribio : x, x + 1, x + 2, x + 3 y x + 4.
La suma de eso es 5x + 10
Beatriz escribió : y, y + 1, y + 2, y + 3, y + 4, y + 5, y + 6
Las suma de eso es 7y + 21
Las dos sumas son iguales : 5x + 10 = 7y + 21
5x = 7y + 11
Hay infinitos pares x, y que cumplen con esa ecuación.
Vamos a determinar cuáles son pares de números enteros.
Para ello se busca parametrizar la ecuación en funcion de un k que será entero.
Despejamos x : x = [7y + 11] / 5
Como x es entero la parte derecha tambien lo sera
[7y + 11] / 5 = entero
separamos el numerador en dos grupos uno de los cuales sea multiplo del denominador :
[5y + 2y + 10 + 1] / 5 = [5y + 10] / 5 + [2y + 1] / 5 = y + 2 + [2y + 1] / 5
como el miembro izquierdo y (y + 2) son enteros, lo que queda tambien sera entero
[2y + 1] / 5 = entero
Multiplicamos el numerador por 3 (para que luego el residuo de dividir entre 5 sea 1)
[6y + 3] / 5 = entero [porque es el resultado de multiplicar un entero por 3]
[5y + y + 3] / 5 = 5y / 5 + [y + 3] / 5 = y + [y + 3] / 5
Como el miembreo izquierdo y y son enteros, el resto tambien sera entero
llamemos k a ese entero
[y + 3] / 5 = k
y = 5k - 3 [es nuestra primera ecuacion de y parametrizada]
Ahora sustituimos ese valor de y en nuestra ecuacion inicial de x despejada.
X = [7y + 11] / 5 = [7(5k - 3) + 11] / 5 = [35k - 21 + 11] / 5 = 7k - 2
Esa es la ecuacion de x parametrizada
Pongamos juntas las dos ecuaciones parametrizadas :
y = 5k - 3
x = 7k - 2
Dando valores enteros a K hallamos los valores enteros de x y y
k = 1, y = 2, x = 5
Esos son los menores valores posibles para x, y ; pero resultan en numeros repetidos en la pizarra.
Para k = 2
y = 5(2) - 3 = 7
x = 7(2) - 2 = 12
k = 3
y = 5(3) - 3 = 15 - 3 = 12
x = 7(3) - 2 = 21 - 2 = 19
De esa forma, Beatriz escribiio 12, 13, 14, 15, 16, 17 y 18
Cecilia escribio : 19, 20, 21, 22 y 23.
Verifiquemos la suma de cada grupo de numeros>
12 + 13 + 14 + 15 + 16 + 17 + 18 = 105
19 + 20 + 21 + 22 + 23 = 105
Respuesta : el menor valor posible de s es 105.
El menor valor para s es 35.
Los 5 primeros números primos son : 2, 3, 5, 7, 11 los multiplico : 2 * 3 * 5 * 7 * 11 = 2310 lo comprobamos 2310 : 2 1155 : 3 385 : 5 77 ; 7 1 espero que te sirva saludos.
Los números son x, x + 1 y x + 2 x² + (x + 1)² + (x + 2)² = 245 x² + x² + 2x + 1 + x² + 4x + 4 = 245 3x² + 6x + 5 = 245 3x² + 6x - 240 = 0 Δ = (6)² - 4 * 3 * - 240 = 2916 x1 = ( - 6 + √2916) / 2 * 3 = 8 x2 = ( - 6 -…
X² + Y² + C² = 245 8² + 9² + 10² = 245 64 + 81 + 100 = 245 245 = 245 NUMERO MENOR 8.