Cecilia escribio en la pizarra 5 numeros naturales consecutivos y Beatriz escribio 7 numeros naturales consecutivos, de tal forma que los 12 numeros son diferentes. La suma de los numeros de Cecilia es igual a S, y la suma de los numeros de Beatriz tambien es S. Determine el menor valor posible de s.
En resumen
LLama x al primer numero que escribio Cecilia, entonces los cinco numeros que ella escribiio son x, x + 1, x + 2, x + 3, x + 4.
LLama x al primer numero que escribio Cecilia, entonces los cinco numeros que ella escribiio son x, x + 1, x + 2, x + 3, x + 4.
Y su suma es S = 5x + 10
Llama y al primer numero que escribio Beatriz, entonces los siete numeros que ella escribio son : y, y + 1, y + 2, y + 3, y + 4, y + 5, y + 6.
Cuya suma es S = 7y + 21
De esas condiciones resulta la siguiente ecuacion : 5x + 10 = 7y + 21
Que tiene ademas que cumplir con x = entero, y = entero, todos los numeros diferentes.
El metodo para hallar tal solucion es parametrizar los dos miembros (izquierdo y derecho) en funcion de un entero para luego dar valores variables a ese entero y encontrar la solucion que cumple las condiciones.
Empezamos despejando la variable que tiene menor coeficiente, x, quedando :
x = [7y + 11] / 5
Como x es entero la parte derecha tambien lo sera
[7y + 11] / 5 = entero
Separamos el numerador en dos grupos uno de los cuales sea multiplo del denominador :
[5y + 2y + 10 + 1] / 5 = [5y + 10] / 5 + [2y + 1] / 5 = y + 2 + [2y + 1] / 5
Como tanto el miembro izquierdo como (y + 2) son enteros, lo que queda tambien es entero
[2y + 1] / 5 = entero
Multiplicamos el numerador por 3 (para que luego el residuo de dividir entre 5 sea 1)
[6y + 3] / 5 = entero [porque es el resultado de multiplicar un entero por 3]
Separamos el numerador como hicimos antes :
[5y + y + 3] / 5 = 5y / 5 + [y + 3] / 5 = y + [y + 3] / 5
Como el miembreo izquierdo y "y" son enteros, el resto tambien sera entero
llamemos n a ese entero
[y + 3] / 5 = n
y = 5n - 3 [es nuestra primera ecuacion de "y"]
Ahora sustituimos ese valor de "y" en nuestra ecuacion inicial de x despejada.
X = [7y + 11] / 5 = [7(5n - 3) + 11] / 5 = [35n - 21 + 11] / 5 = 7n - 2
Esa es la ecuacion de x parametrizada
Pongamos juntas las dos ecuaciones parametrizadas :
y = 5n - 3
x = 7n - 2
Dando valores enteros a n hallamos los valores enteros de x y y
n = 1, y = 2, x = 5
Esos son los menores valores posibles para x, y ; pero resultan en numeros repetidos en la pizarra [2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 y 5, 6, 7, 8, 9]
Para n = 2
y = 5(2) - 3 = 7
x = 7(2) - 2 = 12
Tambien resulta en numeros repetidos : 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13 y 12, 13, 14, 15, 16
n = 3
y = 5(3) - 3 = 15 - 3 = 12
x = 7(3) - 2 = 21 - 2 = 19
De esa forma, Beatriz escribiio 12, 13, 14, 15, 16, 17 y 18
Cecilia escribio : 19, 20, 21, 22 y 23.
Verifiquemos la suma de cada grupo de numeros>
12 + 13 + 14 + 15 + 16 + 17 + 18 = 105
19 + 20 + 21 + 22 + 23 = 105
Respuesta : el menor valor posible de la suma de los numeros escritos por Cecilia y Beatriz es 105.
Cecilia escribio : x, x + 1, x + 2, x + 3 y x + 4.
La suma de eso es 5x + 10
Beatriz escribió : y, y + 1, y + 2, y + 3, y + 4, y + 5, y + 6
Las suma de eso es 7y + 21
Las dos sumas son iguales : 5x + 10 = 7y + 21
5x = 7y + 11
Hay infinitos pares x, y que cumplen con esa ecuación.
Vamos a determinar cuáles son pares de números enteros.
Para ello se busca parametrizar la ecuación en funcion de un k que será entero.
Despejamos x : x = [7y + 11] / 5
Como x es entero la parte derecha tambien lo sera
[7y + 11] / 5 = entero
separamos el numerador en dos grupos uno de los cuales sea multiplo del denominador :
[5y + 2y + 10 + 1] / 5 = [5y + 10] / 5 + [2y + 1] / 5 = y + 2 + [2y + 1] / 5
como el miembro izquierdo y (y + 2) son enteros, lo que queda tambien sera entero
[2y + 1] / 5 = entero
Multiplicamos el numerador por 3 (para que luego el residuo de dividir entre 5 sea 1)
[6y + 3] / 5 = entero [porque es el resultado de multiplicar un entero por 3]
[5y + y + 3] / 5 = 5y / 5 + [y + 3] / 5 = y + [y + 3] / 5
Como el miembreo izquierdo y y son enteros, el resto tambien sera entero
llamemos k a ese entero
[y + 3] / 5 = k
y = 5k - 3 [es nuestra primera ecuacion de y parametrizada]
Ahora sustituimos ese valor de y en nuestra ecuacion inicial de x despejada.
X = [7y + 11] / 5 = [7(5k - 3) + 11] / 5 = [35k - 21 + 11] / 5 = 7k - 2
Esa es la ecuacion de x parametrizada
Pongamos juntas las dos ecuaciones parametrizadas :
y = 5k - 3
x = 7k - 2
Dando valores enteros a K hallamos los valores enteros de x y y
k = 1, y = 2, x = 5
Esos son los menores valores posibles para x, y ; pero resultan en numeros repetidos en la pizarra.
Para k = 2
y = 5(2) - 3 = 7
x = 7(2) - 2 = 12
k = 3
y = 5(3) - 3 = 15 - 3 = 12
x = 7(3) - 2 = 21 - 2 = 19
De esa forma, Beatriz escribiio 12, 13, 14, 15, 16, 17 y 18
Cecilia escribio : 19, 20, 21, 22 y 23.
Verifiquemos la suma de cada grupo de numeros>
12 + 13 + 14 + 15 + 16 + 17 + 18 = 105
19 + 20 + 21 + 22 + 23 = 105
Respuesta : el menor valor posible de s es 105.
Tenemos : Cecilia : x + (x + 1) + (x + 2) + (x + 3) + (x + 4) = S 5x + 10 = S Beatriz : y + (y + 1) + (y + 2) + (y + 3) + (y + 4) + (y + 5) + (y + 6) = S 7y + 21 = S Formando un sistema de ecuaciones : 5x + 10 = 7y + 21…
Hola Cecilia escribio : x, x + 1, x + 2, x + 3 y x + 4. La suma de eso es 5x + 10 Beatriz escribió : y, y + 1, y + 2, y + 3, y + 4, y + 5, y + 6 Las suma de eso es 7y + 21 Las dos sumas son iguales : 5x + 10 = 7y + 21…
Sean los 4 númerosconsecutivos x , x + 1 , x + 2 , x + 3 y el siguiente es x + 4 La mitad de su suma sea igual al siguiente : [x + (x + 1) + (x + 2) + (x + 3)] / 2 = x + 4 x + x + 1 + x + 2 + x + 3 = 2(x + 4) 4x + 6 =…