Calcular el menor número real M tal que secumpla : 6 + 6x – x ^ 2≤ M , para todo x real?

6 + 6x - x ^ 2 es una parbola, por tanto tiene un vértice.

Ese vértice representa un valor máximo o mínimo que puede tomar la función, dependiendo de si la parábola es abierta hacia abajo o hacia arriba.

La dirección hacia la que abre la parábola puedes determinarla por el signo que antecede el coeficiente del término cuadrático, es decir el coeficiente de x ^ 2.

Cuando el signo del coeficiente de x ^ 2 es negativo, la parábola abre hacia abajo y el vértice es un punto máximo.

Ese es el caso del polinomio 6 + 6x - x ^ 2.

Al ser el vértice un punto máximo significa que la función no podrá tomar un valor superior a él, o dicho de otra forma, la función será menor o igual al valor que tiene en el vértice.

Por tanto, el valor de la función en el vértice será el número real M que estamos buscando.

Hallemos pues el vértice de la parábola - x ^ 2 + 6x + 6.

Para ello puedes usar distintas formas.

Yo voy a completar cuadrados : - x ^ 2 + 6x + 6 = - [x ^ 2 - 6x - 6] = - [ (x - 3) ^ 2 - 9 - 6] = - [(x - 3) ^ 2 - 15] = = - (x - 3) ^ 2 + 15

De donde, el vértice es (3, 15), lo que quire decir que el valor de la función 6 + 6x - x ^ 2 es menor o igual a 15.

Por tanto, M = 15.

Respuesta : M = 15.