Calcular el maximo valor entero que puede tomar el perimetro de un triangulo rectangulo, si la altura reativa a la hipotenuza mide 7?

Es un problema de valor máximo, con lo que habrá que ver cuál es la función a optimizar. En este caso lo que hay que optimizar es el perímetro (suma de los 3 lados). Dado que la hipotenusa es 7, nombraremos los otros dos lados como<img src="https://tex.z-dn.net/?f=x" /> e<img src="https://tex.z-dn.net/?f=y" />. Por lo tanto, la función perímetro es<img src="https://tex.z-dn.net/?f=P%28x%2Cy%29%3D7%2Bx%2By" />. Como sólo puede quedar 1 sola incógnita, necesitamos otra relación : el triángulo es rectángulo, luego se puede dar el teorema de Pitágoras : <img src="https://tex.z-dn.net/?f=7%5E2%3Dx%5E2%2By%5E2%20" />. De aquí sacamos el valor de<img src="https://tex.z-dn.net/?f=y" /> : <img src="https://tex.z-dn.net/?f=y%5E2%3D49-x%5E2%5Cto%20y%3D%5Csqrt%7B49-x%5E2%7D" />. Ahora este valor lo cambiamos en nuestra función a optimizar : <img src="https://tex.z-dn.net/?f=P%28x%29%3D7%2Bx%2B%5Csqrt%7B49-x%5E2%7D" /> Para calcular el óptimo, hay que derivar e igualar a cero : <img src="https://tex.z-dn.net/?f=P%27%28x%29%3D0%2B1%2B%5Cfrac%7B-2x%7D%7B2%5Csqrt%7B49-x%5E2%7D%7D%5Cto%20P%27%28x%29%3D1-%5Cfrac%7Bx%7D%7B%5Csqrt%7B49-x%5E2%7D%7D" /> Igualando a cero : <img src="https://tex.z-dn.net/?f=1%3D%5Cfrac%7Bx%7D%7B%5Csqrt%7B49-x%5E2%7D%7D" /> Elevando ambos miembros al cuadrado se va la raíz : <img src="https://tex.z-dn.net/?f=1%3D%5Cfrac%7Bx%5E2%7D%7B49-x%5E2%7D%5Cto%2049-x%5E2%3Dx%5E2%5Cto%202x%5E2%3D49%5Cto%20x%5E2%3D%5Cfrac%7B49%7D%7B2%7D%5Cto%20x%3D%2B%5Cfrac%7B7%7D%7B%5Csqrt%7B2%7D%7D%3D%2B%5Cfrac%7B7%5Csqrt%7B2%7D%7D%7B2%7D" /> Dado que este valor no es entero, tenemos que ver a cuál se aproxima. Para ello, con ayuda de la calculadora, [img = 10] es la aproximación del óptimo.