Calcula los valores de m para que el punto p (1, 1)pertenezca a lacircunferencia descrita por x2 + y2 - 2mx + 4my - 4m2 = 0?

Sabemos que la Ecuación canónica de la circunferencia con centro en C(h, k) es (x - h)2 + (y - k)2 = r2, entonces tenemos que llevar la ecuación x2 + y2 - 2mx + 4my - 4m2 = 0 a esta forma :

x2 + y2 - 2mx + 4my - 4m2 = 0, completamos el trinomio cuadrado :

x2 - 2mx + m2 + y2 + 4my + 4m2 - 4m2 = m2 + 4m2

(x - m)2 + (y + 2m)2 = m2 + 4m2 + 4m2,

(x - m)2 + (y + 2m)2 = 9m2,

Entonces sabemos que la circunferencia tiene centro en

c(m, - 2m), radio igual a r = 3m y pasa por el punto p(1, 1)

Calculamos la distancia desde el centro al punto p e igualamos esta distancia a 3m que precisamente es el radio r = 3m :

d(c, p) = √((x2 - x1) ^ 2 + (y2 - y1) ^ 2)

c(m, - 2m) = (x1, y1) Y p(1, 1) = (x2, y2)

d(c, p) = √((x2 - x1) ^ 2 + (y2 - y1) ^ 2) = 3m = √((1 - m) ^ 2 + (1 - ( - 2m)) ^ 2) = √(1 - 2m + m2 + 4m2 + 4m + 1) = √(5m2 + 2m + 2) = 3m,

5m2 + 2m + 2 = 9m2, 9m2 - 5m2 - 2m - 2 = 0, 4m2 - 2m - 2 = 0, (m + 1 / 2)(m - 1) = 0

Entonces los valores de m son :

m = - 1 / 2 y m = 1

El punto p(1, 1) pertenece a las siguientes circunferencias :

x2 + y2 - 2mx + 4my - 4m2 = 0, (x - m)2 + (y + 2m)2 = 9m2

(x - m)2 + (y + 2m)2 = 9m2, (x + 1 / 2) ^ 2 + (y - 1) ^ 2 = 9 / 4

(x - m)2 + (y + 2m)2 = 9m2, (x - 1) ^ 2 + (y + 2) ^ 2 = 9.