Ayuda ejercio 3 Demostración de espacios vectoriales?

Respuesta : Definici´on 1.

1 Un espacio vectorial es una terna (V, + , ·), donde V es un conjunto

no vac´ıo y + , · son dos operaciones del tipo + : V × V → R, · : R × V → V a las

que llamaremos ’suma de vectores’ y ’producto por escalares respectivamente y con

las siguientes propiedades : denotando + (u, v) = u + v y ·(λ, v) = λv,

1.

U + (v + w) = (u + v) + w, ∀u, v, w ∈ V (asociativa).

2. u + v = v + u, ∀u, v ∈ V (conmutativa).

3. Existe e ∈ V tal que e + v = v + e = v, ∀v ∈ V (elemento neutro).

4. Para cada v ∈ V existe w tal que v + w = w + v = e (elemento opuesto).

5. λ(µv) = (λµ)v, ∀v ∈ V , ∀λ, µ ∈ R (seudo - asociativa).

6. λ(u + v) = λu + λv y (λ + µ)v = λv + µv, ∀u, v ∈ V y ∀λ, µ ∈ R (distributiva).

7. 1v = v, ∀v ∈ V (unimodular).

De forma abreviada, diremos que V es un espacio vectorial.

A los elementos de V

lo llamamos vectores y a los de R, escalaresExplicación paso a paso :