AYUDA CON DERIVADAS! Considera que tienes un terreno rectangular el cual deseas cercar. El terreno ya cuenta con dos muros que lo rodean, por lo que sólo necesitas cercar los dos restantes. Para lograrlo cuentas con 120 metros de cerca y quieres saber de qué manera puedes usarla para cubrir la mayor área rectangular posible dentro del terreno.
En resumen
Un lado del rectángulo es x y otro es y, Función objetivo : x(y).
Arianaodalfor
Un lado del rectángulo es x y otro es y,
Función objetivo : x(y).
Función restricción : x + y = 120
Desarrollandolo
Y = 120 - x,
X(120 - x) = 120x - x2
Derivando a x :
120 - 2x = 0, 120 = 2x, 60 = x
Sustituyendo
60 + y = 120, y = 120 - 60, y = 60
Él rectángulo debe tener sus dos lados de 60.
Jruiz1
Supongamos que las dimensiones del rectángulo sean X e Y
ya tenemos x + y = 120
lo que nos piden es A = xy que sea máximo
entonces despejemos y de la primera ecuación : y = 120 - x
Por lo tanto el área será : <img src="https://tex.z-dn.net/?f=A%28x%29%3Dx%28120-x%29" />
desarrollando.
<img src="https://tex.z-dn.net/?f=A%28x%29%3D120x-x%5E2" />
De aquí hay dos formas de hallar el máximo : o bien con la teoría básica de números reales o por derivadas, yo lo haré por la teoría básica.
<img src="https://tex.z-dn.net/?f=A%28x%29%3D120x-x%5E2%5C%5C%20%5C%5C%0AA%28x%29%3D-%28x%5E2-120x%29%5C%5C%20%5C%5C%0A%5Ctext%7Bcompletando%20cuadrados%3A%7D%20%5C%5C%20%5C%5C%0AA%28x%29%3D-%5B%28x-60%29%5E2-3600%5D%5C%5C%20%5C%5C%0AA%28x%29%3D-%28x-60%29%5E2%2B3600%5C%5C%20%5C%5C%0A%5Ctext%7Bse%20sabe%20que%3A%20%7Da%5E2%5Cgeq%200%5C%3B%2C%5C%3B%20%5Cforall%20a%5Cin%20%5Cmathbb%20R%5Ctext%7B%20por%20ello%7D%5C%5C%20%5C%5C%0A%28x-60%29%5E2%5Cgeq%200%5C%5C%20%0A-%28x-60%29%5E2%5Cleq%200%5C%5C%0A3600-%28x-60%29%5E2%5Cleq3600%5C%5C%20%5C%5C%0A%5Cboxed%7BA%28x%29%5Cleq%203600%7D%0A" />
Por lo tanto el área máxima es A = 3600 m2
esto se logra con x = 60 m, y por consiguiente y = 60m
Respuesta : la forma del terreno cercado será un cuadrado de lado 60 m = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = =
Ahora si quieres por derivadas, partimos de la función área <img src="https://tex.z-dn.net/?f=A%28x%29%3D120x-x%5E2" />
Derivas con respecto a <img src="https://tex.z-dn.net/?f=x" /> <img src="https://tex.z-dn.net/?f=A%27%28x%29%3D120-2x" />
Luego debes hallar los puntos críticos, esto es igualando la derivada a 0 <img src="https://tex.z-dn.net/?f=120-2x%20%3D%200%5C%5C%20x%3D60" />
tenemos que x = 60 m es el punto crítico, el siguiente paso es verificar que este sea un punto de máximo :
si x < 60 se tiene que A'(x) > 0, por consiguiente A(x) es creciente
si x > 60se tiene que A'(x) < 0, por consiguiente A(x) es decreciente
más o menos la gráfica se vería / \ (crec - decrec) lo que es un indicio que x = 60 m es un punto de máximo.
Y el resto ya es como se indicó en el primer método.
El lado mas grande puede medir 400 mts y el más angosto medira 200 mts, al sumar el total de los lados el resultado es de 1, 200 mts. Espero que te sea de ayuda.
A) El perimetro del rectangulo es P = 2. (l + a), entonces como sus dimensiones son 15x20, P = 2. (20 + 15) = 70 y como ya tiene barda en uno de sus lados mayores le restas 70 - 20 = 50m de cerco lo que necesitas y b) A…