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AYUDA! Encuentre la ecuación de la circunferencia que pasa por el punto A = (3, 5) y cuyo centro es la proyección ortogonal de A sobre la recta L : 3x + 2y + 4 = 0.
Pregunta de Matemáticas · 1 respuesta · 7 votos · mejor respuesta de Garciakarina
En resumen
La proyeccion ortogonal de un punto dado referente a una recta, es la recta perpendicular a la recta que pasa por el punto dado.
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Mejor respuesta
La proyeccion ortogonal de un punto dado referente a una recta, es la recta perpendicular a la recta que pasa por el punto dado.
En este caso la recta es :
L1 : 3X + 2Y + 4 = 0
La debemos pasar a la manera Y = mX + b
2Y = - 3X - 4
Y = ( - 3 / 2)X - 4 / 2
Y = ( - 3 / 2)X - 2
Donde m es la pendiente de la recta en nuestro caso :
m = - 3 / 2
Ahora debemos hallar la recta que es perpendicular a la L1 que pasa por A
Recordemos que para que dos rectas sean perpendiculares el producto de las pendientes debe ser - 1.
M1 = - 3 / 2
m2 = ?
(m1)(m2) = - 1
( - 3 / 2)(m2) = - 1
m2 = - 1 / ( - 3 / 2)
m2 = 2 / 3
Ahora tenemos una pendiente y un punto donde debe pasar esa recta
m = 2 / 3 ; Punto A : (3, 5)
Usamos
Y - Y1 = m(X - X1)
Para nuestro caso :
X1 = 3 ; Y1 = 5 ; m = 2 / 3
Y - 5 = (2 / 3)(X - 3)
Y - 5 = 2X / 3 - (2 / 3)(3)
Y - 5 = 2X / 3 - 2
Y = 2X / 3 - 2 + 5
L2 : Y = 2X / 3 + 3
En el punto donde se intersectan L1 y L2 ese sera el centro de nuestra circunferencia.
L1 : Y = ( - 3 / 2)X - 2
L2 : Y = 2X / 3 + 3
En los puntos donde se intersecta tendran los mismo valores tanto para X como para Y asi que podemos usar igualacion para hallar los valores.
Y = ( - 3 / 2)X - 2
Y = (2 / 3)X + 3
( - 3 / 2)X - 2 = (2 / 3)X + 3 - 2 - 3 = 3X / 2 + 2X / 3 - 5 = 3X / 2 + 2X / 3
Hacemos :
3 / 2 + 2 / 3 = [3(3) + 2(2)] / 6 = [9 + 4] / 6 = 13 / 6 - 5 = 13X / 6
Despenando
( - 5)(6) = 13X
X = - 30 / 13
Ahora reemplazo :
Y = 2X / 3 + 3
Y = (2 / 3)( - 30 / 13) + 3
Y = - 20 / 13 + 3
Y = - 20 / 13 + 39 / 13
Y = 19 / 13
El punto donde se intersectan es : [( - 30 / 13) , (19 / 13)]
Listo ahora el radio de nuestra circunferencia es la distancia comprendida entre centro (Punto donde se intersectan las rectas) y el punto A (3, 5)
Centro : [( - 30 / 13) , (19 / 13)]
A : (3 , 5)
Donde :
X1 = ( - 30 / 13) ; Y1 = 19 / 13 ; X2 = 3 ; Y2 = 5
Usando la formula para hallar distancia :
d = √[(X2 - X1)² + (Y2 - Y1)²]
(X2 - X1)²
3 - ( - 30 / 13) = 3 + 30 / 13 = 39 / 13 + 30 / 13 = 69 / 13
(69 / 13)² = 4761 / 169
(X2 - X1)² = 4761 / 169
(Y2 - Y1) = 5 - 19 / 13
65 / 13 - 19 / 13 = 46 / 13
(Y2 - Y1)² = (46 / 13)² = 2116 / 169
d = √[(X2 - X1)² + (Y2 - Y1)²]
d = √[(4761 / 169) + (2116 / 169)]
d = √(6877 / 169)
d = √(529 / 13)
d ≈ 6.
37905
El radio es aproximadamente de 6.
37905
Ahora usamos la ecuacion canonica de la circunferencia :
(X - h)² + (Y - k)² = r²
Donde : (h , k) es el centro de la circunferencia en nuestro caso
[( - 30 / 13) , (19 / 13)]
r² = Radio al cuadrado en nuestro caso
r = √(529 / 13)
r² = 529 / 13
(X - h)² + (Y - k)² = r²
(X - ( - 30 / 13))² + (Y - (19 / 13))² = 529 / 13
(X + 30 / 13)² = X² + 2(X)(30 / 13) + 900 / 169
X² + 60X / 13 + 900 / 169
(Y - (19 / 13))² = Y² - 2(Y)(19 / 13) + 361 / 169
Y² - 38Y / 13 + 361 / 169
(X² + 60X / 13 + 900 / 169) + (Y² - 38Y / 13 + 361 / 169) = 529 / 13
X² + Y² + 60X / 13 - 38Y / 13 + 1261 / 169 = 529 / 13
X² + Y² + 60X / 13 - 38Y / 13 + 1261 / 169 - 529 / 13 = 0
X² + Y² + 60X / 13 - 38Y / 13 - 432 / 13 = 0 : Ecuacion general de la circunferencia.
Te anexo grafica de la situacion.
Preguntas frecuentes
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