( Algebra Lineal )encontrar las coordenadas del vector [x, y, z]de R3 respecto a la baseB = { (1, 0, 0) (0, 0, 1) (1, 1, 1) }?

Utiliza matrices, el cambio de base.

Sabemos que X = BX', siendo B la matriz del cambio de base de X a X'.

La matriz de cambio de base de X a X' se construye por columnas, poniendo las coordenadas del vector X' (coordenadas del vector <img src="https://tex.z-dn.net/?f=%28x%2Cy%2Cz%29" /> respecto a B) en función de los de X (coordenadas del mismo vector con respecto a la base canónica).

En otras palabras : Hay que poner los vectores de la base canónica <img src="https://tex.z-dn.net/?f=%5Cleft%5C%5B%20%281%2C0%2C0%29%2C%20%280%2C1%2C0%29%2C%20%280%2C0%2C1%29%5Cright%5C%7D" /> en función de los vectores de la base B.

Es decir :

<img src="https://tex.z-dn.net/?f=%20%5Cleft%20%5C%7B%20%5Cbegin%7Bmatrix%7D%20%7B%281%2C0%2C0%29%3Da_1%5Ccdot%20%281%2C0%2C0%29%2Ba_2%5Ccdot%20%280%2C0%2C1%29%2Ba_3%5Ccdot%281%2C1%2C1%29%7D%20%5C%5C%20%7B%280%2C1%2C0%29%3Db_1%5Ccdot%20%281%2C0%2C0%29%2Bb_2%5Ccdot%20%280%2C0%2C1%29%2Bb_3%5Ccdot%281%2C1%2C1%29%7D%20%5C%5C%20%7B%280%2C0%2C1%29%3Dc_1%5Ccdot%20%281%2C0%2C0%29%2Bc_2%5Ccdot%20%280%2C0%2C1%29%2Bc_3%5Ccdot%281%2C1%2C1%29%7D%20%5Cend%7Bmatrix%7D" />

Cuando hayamos resuelto el sistema, la matriz del cambio de base será :

<img src="https://tex.z-dn.net/?f=%20B_%7BCan%5Cto%20Nueva%7D%3D%20%5Cleft%28%20%5Cbegin%7Bmatrix%7D%20%7Ba_1%26b_1%26c_1%5C%5Ca_2%26b_2%26c_2%5C%5Ca_3%26b_3%26c_3%7D%20%5Cend%7Bmatrix%7D%20%5Cright%29" />

En este caso, cuando resolvemos la matriz, obtenemos la siguiente matriz del cambio de base :

<img src="https://tex.z-dn.net/?f=%20B_%7BCan%5Cto%20Nueva%7D%3D%20%5Cleft%28%20%5Cbegin%7Bmatrix%7D%20%0A%7B1%26-1%260%5C%5C0%26-1%261%5C%5C0%260%260%7D%20%0A%5Cend%7Bmatrix%7D%20%5Cright%29" />

Y la ecuación que te da la solución (pongas el vector (x, y, z) que quieras es :

<img src="https://tex.z-dn.net/?f=%20%5Cleft%28%20%5Cbegin%7Bmatrix%7D%20%0A%7Bx%27%5C%5Cy%27%5C%5Cz%27%7D%20%0A%5Cend%7Bmatrix%7D%20%5Cright%29%3D%5Cleft%28%20%5Cbegin%7Bmatrix%7D%20%0A%7B1%26-1%260%5C%5C0%26-1%261%5C%5C0%260%260%7D%20%0A%5Cend%7Bmatrix%7D%20%5Cright%29%5Ccdot%20%5Cleft%28%20%5Cbegin%7Bmatrix%7D%20%0A%7Bx%5C%5Cy%5C%5Cz%7D%20%0A%5Cend%7Bmatrix%7D%20%5Cright%29" />.