A) Si "n" entero positivo, ademas n(n + 2) = 80, hallar "n"b) De lo anterior, hallar "n"?

Respuesta : a) n = 8b) n = 14Explicación paso a paso : a) n(n + 2) = 80 con n> 0distributivan² + 2n = 80se iguala a ceron² + 2n - 80 = 0se expresa a - 80 como - 81 + 1n² + 2n - 81 + 1 = 0se asocia (n² + 2n + 1) - 81 = 0el trinomio cuadrado perfecto es el cuadrado de un binomio (n + 1)² - 81 = 081 = 9² entonces se tiene la diferencia de cuadrados(n + 1)² - 9² = 0(n + 1 - 9).

(n + 1 + 9) = 0(n - 8).

(n + 10) = 0de donde se tiene quen - 8 = 0 ⇒ n = 8n + 10 = 0 ⇒ n = - 10pero como el conjunto solución fue acotado para n > 0 se tendrá que la solución es n = 8comprobación 8(8 + 2) = 8.

10 = 80b) n(n + 1) = 210 con n > 0distributivan² + n = 210se iguala s ceron² + n - 210 = 0se va a sumar y restar 1 / 4n² + n - 210 + 1 / 4 - 1 / 4 = 0se asocia(n² + n + 1 / 4) - 210 - 1 / 4 = 0(n + 1 / 2)² - (210 + 1 / 4) = 0(n + 1 / 2)² - 841 / 4 = 0se despeja el primer termino del primer miembro(n + 1 / 2)² = 841 / 4se toma raíz cuadrada de ambos miembros√(n + 1 / 2)² = ±√(841 / 4)n + 1 / 2 = ± 29 / 2se despeja nn = - 1 / 2 ± 29 / 2n = ( - 1 ± 29) / 2de don se tiene dos soluciones n = ( - 1 + 29) / 2 = 28 / 2 = 14 ó n = ( - 1 - 29) / 2 = - (1 + 29) / 2 = - 30 / 2 = 15por lo tanto la solución positiva es n = 14comprobación14(14 + 1) = 14.

14 + 14 = 196 + 14 = 210.