7. Demostrar que f(x) = x5 - 2x2 – 6 tiene una raíz en [1, 2] y utilizando el Método de Bisección determine una aproximación a la raíz con una precisión de al menos 10 - 3.
Inicialmente tenemos que el método de bisección nos indica que : Xr = (Xa + Xb) / 2Xb = f(Xa)·f(Xr) Nuestra función es la siguiente : f(x) = x⁵ - 2x² - 6Este proceso lo debemos realizar en varias interciones, sin emabrgo nos indican que la precisión debe ser al menos de 10⁻³, entonces : E < b - a / 2ⁿ Despejamos el valor de n, tenemos ; 10⁻³ = (2 - 1) / 2ⁿ2ⁿ = 1 / 10⁻³n = 9.
96 Por tanto, se deben hacer al menos 10 iteraciones.
1 - Iniciamos con el intervalo [1, 2] Xr = (1 + 2) / 2 = 1 / 2 Xb = [(1)⁵ - 2(1)² - 6]·[(0.
5)⁵ - 2(0.
5)² - 6] = 45.
28 > 0 Como Xb > 0, entonces Xr = Xa2 - Aplicamos siempre el mismo proceso.
Intervalo [0.
5 ; 2].
Xr = (0.
5 + 2) / 2 = 1.
25Xb = [(1.
25)⁵ - 2(1.
25)² - 6]·[(0.
5)⁵ - 2(0.
5)² - 6] = 39.
28 > 0 Como Xb > 0, entonces Xr = Xa3 - Intervalo [1.
25 ; 2].
Xr = (1.
25 + 2) / 2 = 1.
625Xb = [(1.
25)⁵ - 2(1.
25)² - 6]·[(1.
625)⁵ - 2(1.
625)² - 6] = - 0.
30 < 0 Como Xb < 0, entonces Xr = Xb4 - Intervalo [1.
25, 1.
625] Xr = (1.
25 + 1.
625) / 2 = 1.
4375Xb = [(1.
25)⁵ - 2(1.
25)² - 6]·[(1.
473)⁵ - 2(1.
473)² - 6] = 20.
68 > 0 Como Xb > 0, entonces Xr = Xa5 - Intervalo [1.
4375 ; 1.
625]Xr = (1.
4375 + 1.
625) / 2 = 1.
53125Xb = [(1.
53125)⁵ - 2(1.
53125)² - 6]·[(1.
473)⁵ - 2(1.
473)² - 6] = 7.
73 > 0 Como Xb > 0, entonces Xr = Xa6 - Intervalo [1.
53125 ; 1.
625]Xr = (1.
53125 + 1.
625) / 2 = 1.
578125Xb = [(1.
53125)⁵ - 2(1.
53125)² - 6]·[(1.
578125)⁵ - 2(1.
578125)² - 6] = 2.
70 > 0 Como Xb > 0, entonces Xr = Xa7 - Intervalo [1.
578125 ; 1.
625] Xr = (1.
578124 + 1.
625) / 2 = 1.
601Xb = [(1.
601)⁵ - 2(1.
601)² - 6]·[(1.
578125)⁵ - 2(1.
578125)² - 6] = 0.
72 > 0 Como Xb > 0, entonces Xr = Xa8 - Intervalo [1.
601 ; 1.
625] Xr = (1.
601 + 1.
625) / 2 = 1.
613Xb = [(1.
601)⁵ - 2(1.
601)² - 6]·[(1.
613)⁵ - 2(1.
613)² - 6] = 0.
17 > 0 Como Xb > 0, entonces Xr = Xa9 - Intervalo [1.
613 ; 1.
625] Xr = (1.
613 + 1.
625) / 2 = 1.
619Xb = [(1.
619)⁵ - 2(1.
619)² - 6]·[(1.
613)⁵ - 2(1.
613)² - 6] = 0.
0338 > 0 Como Xb > 0, entonces Xr = Xa10 - Intervalo [1.
619 ; 1.
625] Xr = (1.
619 + 1.
625) / 2 = 1.
622Xb = [(1.
619)⁵ - 2(1.
619)² - 6]·[(1.
622)⁵ - 2(1.
622)² - 6] = 0.
00416 > 0 Llegamos a nuestra décima iteración y podemos decir que nuestra raíz tiene el valor de 1.
622. El valor real de la raíz es de 1.
6232 por tanto podemos observar que tuvimos una buena aproximación.
La demostración es idéntica para los dos casos. Se SUPONE que√3 es RACIONAL. Por lo tanto se debe poder expresar como el cociente entre dos números enteros. √3 = a / b, donde a y b no tienen factores comunes. Elevamos…
5√11 - 3√17 - 4√11 - 9√11 + 8√17 (5√11 - 4√11 - 9√11) + (8√17 - 3√17) - 8√11 + 5√17 5√17 - 8√11.
Raiz de 25 - raiz de 9 - raiz de 25 5 - 3 - 5 - 3.