6. - Se requiere fabricar una lata de conservas cilíndrica (con tapa) de 800 centímetros cúbicos de volumen?

Para que el material utilizado sea el mínimo y obtengamos un cilindro con tapa de 800 centímetros cúbicos de Volumen las dimensiones deben ser : R = 9.

28 cm y h = 2.

95 cm.

Explicación paso a paso : Para resolver éste ejercicio, vamos a utilizar la segunda derivada, para evaluar donde se hace mínima la función.

Primero vamos a determinar las ecuaciones y construir la función del área.

Volumen = π * R² * h = 800 cm³área = b * h Pero en éste caso la base del rectángulo va a ser igual al perímetro de la circunferencia de radio R : b = 2π * R al sustituir tenemos que : área = (2πR)h Despejamos h del volumen y tenemos : π * R² * h = 800 cm³h = 800 / π * R²Al sustituir "h" en el área tenemos la expresión del área en función del radio : área = 2π * R * ( 800 / π * R²) área = 1600π / R + πR²Ahora procedemos a derivar : Primera derivada : área' = - 1600π / R² + 2πRIgualando a cero la primera derivada tenemos : 0 = - 1600π / R² + 2πR0 = - 800 + R³R = 9.

28 cm.

Segunda Derivada : área'' = 1600π / R⁴ + 2πEvalúo la segunda derivada en R = 9.

28 cm área'' = 1600π / 9.

28 + 2πárea'' = 519.

19 cm >0 - - - - > Por lo que en R = 9.

28 hay un mínimo.

Ahora calculamos la altura : h = 800 / π * (9.

28)²h = 2.

95 cm.

Entonces para que el material utilizado sea el mínimo posible el radio debe medir 9.

28 cm y la altura debe ser de 2.

95 cm.