50 ejrcicios de suma y resta de complejos?

La suma o adición de números complejos dados en forma binómica

La suma de dos números complejos es otro número complejo con parte real, la suma de las partes reales y la parte imaginaria es la suma de las partes imaginarias.

En fórmulas(a + bi) + (c + di) = (a + c) + (b + d)i

EjemploSumar(4 + 5i)y(4 + 6i)

Solución

(4 + 5i) + (4 + 6i) = (4 + 4) + (5 + 6)i = 8 + 11i

Abajo varios ejercicios resueltos que ilustran como solventar algunas dificultades en la adición de números complejos.

EjercicioCalcular(2 + i) + (1 + 3i) Solución

Observe que la parte imaginaria de2 + ies 1.

Así tenemos(2 + i) + (5 + 3i) = (2 + 5) + (1 + 3)i

En definitiva, (2 + i) + (5 + 3i) = 7 + 4i

EjercicioCalcular(1−3i) + (2i) SoluciónObserve que la parte imaginaria de1−3ien−3

La parte real del segundo sumando, 2es 0.

Así

(1−3i) + (2i) = (1 + 0) + (−3 + 2)i

Se efectúa las sumas planteadas en la parte real y en la parte imaginaria.

(1−3i) + (2i) = = 1 + (−1)i1−i

Tenga presente la definición de la raíz cuadrada de un número negativo−p−−−√ = p–√i

EjercicioEfectúe la suma indicada(2 + −4−−−√) + (3 + −16−−−−√)SoluciónAplicamos la definición de la raíz cuadrada de un número negativo

(2 + −4−−−√) + (3 + −16−−−−√) = (2 + 4–√i) + (3 + 16−−√i)

Quedó planteada una suma de números complejos en su forma binómica.

Antes de proceder a hacer la suma, simplificamos los radicales

(2 + −4−−−√) + (3 + −16−−−−√) = (2 + 2i) + (3 + 4i)

Sumamos = (2 + 3) + (2 + 4)i = 5 + 6i

Podemos sumar de manera rápida, como lo hacíamos con los polinomios, interpretando las partes reales como términos semejantes y las partes imaginarias similar.

Así para efectuar la suma(3 + 4i) + (−2 + 5i)primero quitamos los paréntesis y asociamos las partes reales y las partes imaginarias mentalmente, sumándolas algebraicamente3r + 4ii−2r + 5ii = 1r + 9ii

El elemento neutro de la suma y el opuesto o inverso aditivo

El elemento neutro de la suma en números complejos es0 + 0i,

abreviado por0

Efectivamente, (a + bi) + (0 + 0i) = a + bi

El opuesto o inverso aditivo de un número complejoa + bies

−(a + bi) = −a−biEl opuesto de4−3ies−4 + 3i.

Verifica que su suma es igual a0

La resta de números complejos

Formalmente la restaz1−z2es definida como la suma dez1con el opuesto dez2

Puedes ver los detalles para verificar que(a + bi)−(c + di) = (a−c) + (b−d)iAplicamos la definición de la resta, la suma con el inverso aditivo

(a + bi)−(c + di) = (a + bi) + (−(c + di)) = (a + bi) + (−c−di) Opuesto de(c + di) = (a−c) + (b−d)i Suma de complejos

La diferencia de dos números complejos es otro número complejo tal que

su parte real es la diferencia de las partes reales y

y la parte imaginaria es la diferencia de las partes imaginarias

EjemploRealice la resta(3−2i)−(4 + 6i).

Solución(3−2i)−(4 + 6i) = = (3−4) + (−2−6)i−1−8i

Podemos también proceder como lo hacíamos con polinomios : eliminando paréntesis y reduciendo términos semejantes

EjemploEfectuar la resta con el método rápido(3 + 2i)−(5−6i)

Primero eliminamos paréntesis(3 + 2i)−(5−6i) = = 3r + 2ii−5r + 6ii−2r + 8iiEn la última línea se sumaron las partes reales y las partes imaginarias, los términos semejantes.

Sumas y restas combinadas

Con este método podemos efectuar rápidamente sumas y restas combinadas entre números complejos, reduciéndola a su forma binómica,

EjemploExpresar en forma binómica o estándar(4 + i)−(3−2i) + (7−3i)

Suma y resta de números complejos dados en su forma polarNo hay una forma para sumar o restar de manera abreviada números en su forma polar.

Una alternativa para operar es pasarlos a su forma binómica, sumarlos o restarlos y si se requiere, pasar el resultado a la forma polar.

EjemploEncuentrez1 + z2.

Exprese el resultado en forma polar.

Z1 = 630ºz2 = 2−30º

Pasamos los números a su forma binómica, usando la representación triginométricaz1 = 630º = 6(cos(30º) + sen(30º)i) = 33–√ + 3iz2 = 2−30º = 3(cos(−30º) + sen(−30º)i) = 3–√−1iEntonces sumamos en forma binómica = 43–√−2iSi se requiere pasamos a la forma polar.

El modulo|z1 + z2| = 13−−√,

El argumento, θ = atan(243√)

En definitiva, z1 + z2 = 13−−√atan(123√).