3. Una pista de atletismo tiene forma de elipse de 100 m de largo y 50 metros de ancho?

Primero recordemos la ecuacion de la elipse con centro en el origen :

(X² / a²) + (Y² / b²) = 1

Donde a = (Longitud del semieje mayor) / 2

b = (Longitud del semieje menor) / 2

Como tenemos las longitudes de los ejes mayor y menor

a = 100 m / 2 = 50 m

b = 50 m / 2 = 25 m

Reemplazamos los valores de a y b en la ecuacion :

a² = 50² = 2500

b² = 25² = 625

Ecuacion de la elipse :

(X² / 2500) + (Y² / 625) = 1

(X² / 2500) + (Y² / 625) = [X² + 4Y²] / 2500 = (X² + 4Y²) / 2500

(X² + 4Y²) / 2500 = 1

X² + 4Y² = 2500

4Y² = 2500 - X²

Y² = (2500 - X²) / 4

Y² = 625 - X² / 4

Y = + / - √(625 - X² / 4)

Como nos piden el ancho a 20 metros del extremo significa que es a 50 - 20 = 30 metros del centro.

Hacemos a X = 30

Y = + / - √[625 - (30)² / 4)

Y = + / - √[625 - 900 / 4]

Y = + / - √[625 - 225]

Y = + / - √400

Y = + / - 20

Osea que cuando X = 30, Y puede ser - 20 o 20

Nos quedan los puntos : (30 , - 20) y (30 , 20)

Y para hallar el ancho a esa hallamos la distancia entre dos puntos :

d = √[(X2 - X1)² + (Y2 - Y1)²]

Donde : X1 = 30 ; Y1 = - 20 ; X2 = 30 ; Y2 = 20

d = √[(30 - 30)² + (20 - ( - 20))²]

d = √[(0)² + (20 + 20)²]

d = √[ (40)²]

d = √(40)²

d = 40 metros

Rta : El ancho que hay a 20 metros del extremos es de 40 metros

Te anexo grafica de la situacion en pdf.