Precio de la habitación, y x al Número de habitaciones alquiladas, la utilidad será igual a :
Y = P * x
Además :
si P = 200 entonces x = 60
si P = 205 entonces x = 59
si P = 210 entonces x = 58
Entonces :
x = 60 - (P - 200) / 5
Y = P * (60 - (P - 200) / 5)
Y = 60P - P² / 5 + 40P = - P² / 5 + 100P
Hallamos la primera derivada
Y’ = - 2P / 5 + 100
Igualamos a cero : - 2P / 5 + 100 = 0 - 2P / 5 = - 100 - 2P = - 100 * 5 = - 500
P = 500 / 2 = 250.
Entonces un punto critico es P = 250.
Encontramos la segunda derivada :
Y’’ = - 2 / 5 < 0
Como la segunda derivada es negativa por criterio de la segunda derivada el punto critico es un máximo.
Por lo tanto para que la utilidad sea máxima el precio P debe ser igual a $250 en este caso se alquilaran :
x = 60 - (250 - 200) / 5 = 60 - 10 = 50 habitaciones
y la utilidad será :
Y = $250 * 50
Y = $12500
Para graficar, vemos intersección con P (Y = 0)
0 = - P² / 5 + 100P
P = 0 ó - P / 5 + 100 = 0
P / 5 = 100
P = 500
Puntos : (500, 0) y (0, 0)
Intersección con y (P = 0)
Y = - 0² / 5 + 100 * 0 = 0
Punto : (0, 0)
En la imagen de arriba se observa el bosquejo de la gráfica de Y y el máximo de la misma.
