2x ^ 2 - (kx + k) + (3k - 8) = 0 sabiendo que sus raíces son recíprocas y de signos contrarios por fa, no puedo resolver la ecuación?

Primero que significan que Sean Recíprocas que :

(X1)(X2) = 1, pero como nos dicen que tiene que ser con signo contrario entonces

(X1)(X2) = - 1.

Partiendo de esto tenemos que : Donde K = Constante (numero)

2X² - (KX + K) + (3K - 8) = 0

2X² - KX - K + 3K - 8 = 0

2X² - KX + 2K - 8 = 0

2X² - KX + (2K - 8) = 0

Donde : a = 2 ; b = - K ; c = (2K - 8)

<img src="https://tex.z-dn.net/?f=X%3D%5Cfrac%7B-b%5Cpm%20%5Csqrt%7Bb%5E2-4ac%7D%7D%7B2a%7D" />

<img src="https://tex.z-dn.net/?f=X%3D%5Cfrac%7B-%28-K%29%5Cpm%20%5Csqrt%7B%28-K%29%5E2-4%282%29%282K%20-%208%29%7D%7D%7B2%282%29%7D" />

<img src="https://tex.z-dn.net/?f=X%3D%5Cfrac%7BK%5Cpm%20%5Csqrt%7BK%5E2-8%282K%20-%208%29%7D%7D%7B4%7D" />

<img src="https://tex.z-dn.net/?f=X%3D%5Cfrac%7BK%5Cpm%20%5Csqrt%7BK%5E2-16K%2B64%7D%7D%7B4%7D" />

(K² - 16K + 64) = (K - 8)²

<img src="https://tex.z-dn.net/?f=X%3D%5Cfrac%7BK%5Cpm%20%5Csqrt%7B%28K-8%29%5E%7B2%7D%7D%7D%7B4%7D" />

<img src="https://tex.z-dn.net/?f=X%3D%5Cfrac%7BK%5Cpm%20%5C%20%7B%28K-8%29%7D%7D%7B4%7D" />

X1 = [K + (K - 8)] / 4

X1 = [2K - 8] / 4

X1 = 2[K - 4] / 4

X1 = (K - 4) / 2

X2 = [K - (K - 8)] / 4

X2 = [K - K + 8] / 4

X2 = 8 / 4

X2 = 2

Recordemos que deben ser recíprocas y con signo contrario :

(X1)(X2) = - 1

X1 = (K - 4) / 2

X2 = 2

[(K - 4) / 2] * [2] = - 1

(K - 4) = - 1

K = - 1 + 4

K = 3

Reemplazamos : K = 3

2X² - (3X + 3) + (3(3) - 8) = 0

2X² - 3X - 3 + (9 - 8) = 0

2X² - 3X - 3 + 1 = 0

2X² - 3X - 2 = 0

Donde : a = 2 ; b = - 3 ; c = - 2

<img src="https://tex.z-dn.net/?f=X%3D%5Cfrac%7B-b%5Cpm%20%5Csqrt%7Bb%5E2-4ac%7D%7D%7B2a%7D" />

<img src="https://tex.z-dn.net/?f=X%3D%5Cfrac%7B-%28-3%29%5Cpm%20%5Csqrt%7B%28-3%29%5E2-4%282%29%28-2%29%7D%7D%7B2%282%29%7D" />

<img src="https://tex.z-dn.net/?f=X%3D%5Cfrac%7B3%5Cpm%20%5Csqrt%7B9%2B16%7D%7D%7B4%7D" />

<img src="https://tex.z-dn.net/?f=X%3D%5Cfrac%7B3%5Cpm%20%5Csqrt%7B25%7D%7D%7B4%7D" />

[img = 10]

X1 = [3 + 5] / 4 = 8 / 4 = 2

X1 = 2

X2 = [3 - 5] / 4 = - 2 / 4 = - 1 / 2

X2 = - 1 / 2

Como vemos

(X1)(X2) = - 1

(2)( - 1 / 2) = - 2 / 2 = - 1

Lss raices si cumplen con la condicion.

Rta : K = 3.