2. Demuestre que el tri´angulo con v´ertices A(3, 1), B(−5, −3) y C(4, −1) es un tri´angulo rect´angulo y encuentre su ´area?

Vamos a tener 3 rectas ; la recta AB, la reacta AC y la recta BC.

Calculemos la pendiente de estas 3 rectas.

Dados dos puntos A(x₁, y₁) y B(x₂, y₂) la pendiende de la recta que pasa por estos 2 puntos es m = (y₂ - y₁) / (x₂ - x₁), Por tanto.

Pendiente de la recta AB :

m(AB) = ( - 3 - 1) / ( - 5 - 3) = - 4 / - 8 = 1 / 2.

Pendiente de la recta AC :

m(AC) = ( - 1 - 1) / (4 - 3) = - 2 / 1 = - 2.

Dos rectas son perpendiculares , es decir forman un ángulo de 90º si se da la siguiente condición, en sus pendientes.

M = - 1 / m´

si m = 1 / 2 ; entonces 1 / 2 = - 1 / (m´) = - 1 / - 2 = 1 / 2

Por tanto al ser perpendiculares, forman un ángulo de 90º y por tanto se trata de un triángulo rectángulo.

Sabemos ahora que el ángulo recto se encuentra en el vértice A, por tanto tenemos que hallar la distancia de AB, y la distancia de AC, para calcular su área.

Dados 2 puntos A(x₁, y₁) y B(x₂, y₂), la distancia entre ellos es :

d = √[(x₂ - x₁)² + (y₂ - y₁)²]

Por tanto :

dist(A, B) = √[( - 5 - 3)² + ( - 3 - 1)²] = √(64 + 16) = √80 u

dist(A, C) = √[(4 - 3)² + ( - 1 - 1)²] = √(1 + 4) = √5 u

Área = [ dist(A, B) x dist(A, C)] / 2 = (√80 u.

√5 u) / 2 = 10 u².

Sol : el área son 10 u².